Kezdőlap


Feladat:	1510. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: -
Füzet:	1974/december, 214 - 215. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Nevezetes azonosságok, Maradékos osztás, Természetes számok, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1974/február: 1510. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A három egymás utáni páros szám közül a középsőt jelöljük $k$ -val. Ekkor a három páros szám négyzetének összege:

\begin{matrix} {(2 k - 2)}^{2} + {(2 k)}^{2} + {(2 k + 2)}^{2} = 12 k^{2} + 8. \end{matrix}

Ettől a számtól kívánjuk, hogy négyjegyű,

28

-cal osztható legyen.
a) Mivel

12 k^{2} + 8

négyjegyű, ezért értékének

1000

és

9999

közé kell esnie (a határokat is beleértve):

\begin{matrix} 1000 ≦ 12 k^{2} + 8 ≦ 9999, \end{matrix}

ahonnan

\begin{matrix} 10 ≦ k ≦ 28. \end{matrix}

(1)

12 k^{2} + 8 = 4 (3 k^{2} + 2)

miatt a keresett szám pontosan akkor osztható

28

-cal, ha

3 k^{2} + 2

osztható

7

-tel. Vizsgáljuk meg a

7

-tel történő osztáskor fellépő maradékokat!

\begin{matrix} k & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9... \\ a maradék & 2 & 5 & 0 & 1 & 1 & 0 & 5 & 2 & 5 & 0... \end{matrix}

A maradékok

7

-es periódust alkotva ismétlődnek. Ez következik abból is, hogy az

(i + 7)

-edik és az

i

-edik szám különbsége héttel osztható:

\begin{matrix} (3 {(i + 7)}^{2} + 2) - (3 i^{2} + 2) = 7 (6 i + 21) . \end{matrix}

Így

3 k^{2} + 2

akkor és csak akkor osztható

7

-tel, ha

k

7

-tel osztva

2

vagy

5

maradékot ad.
Az a) és b) alatti eredményeket összevetve

10

és

28

közti olyan egész számokat keresünk, melyek

7

-tel osztva

2

vagy

5

maradékot adnak. Ezek:

\begin{matrix} 7 + 5 = 12, 14 + 2 = 16, 14 + 5 = 19, 21 + 2 = 23, 21 + 5 = 26. \end{matrix}

Így

k

értéke csak ezek valamelyike lehet. Az ezekhez tartozó négyjegyű számok

1736

3080

4340

6356

8120

pedig valóban kielégítik a kívánt feltételt.

\begin{matrix} 1736 = 22^{2} + 24^{2} + 26^{2}; 3080 = 30^{2} + 32^{2} + 34^{2}; \\ 4340 = 36^{2} + 38^{2} + 40^{2}; 6356 = 44^{2} + 46^{2} + 48^{2}; \\ 8120 = 50^{2} + 52^{2} + 54^{2} . \end{matrix}