Az új kör akkor nem metszi a már elhelyezett idomokat, ha a középpontja nincs túl közel hozzájuk. A körök körül $1/2\text{cm}$ keresztmetszetű körgyűrűben helyezkednek el azok a pontok, amelyek körül rajzolt $1/2\text{cm}$ sugarú kör még metszené. Minden egyes már elhelyezett kör tehát egy $1\text{cm}$ sugarú körlemezt takar el a síkon az új kör középpontja elől, ezek területe külön-külön $\pi$, együtt legfeljebb $3\pi$. A négyzetek $1/2\text{cm}$ sugarú környezete $4$ egybevágó, $1/2\text{cm <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>×</mo></math>1 }\text{cm}$-es téglalapból, és négy $1/2\text{cm}$ sugarú negyedkörből áll, egy-egy négyzet tehát $3+\pi /4$ területű részt takar el az új középpont elől. Nem kerülhet az új középpont azonban az $N$ négyzet oldalaihoz sem túl közel, itt is el kell hagynunk egy $1/2\text{cm}$ vastag sávot, és így csak egy $5\text{cm}$ oldalú négyzet marad vissza $N$-ből. Ebből a már elhelyezett $7$ idom legfeljebb $3\pi +4\left(3+\pi /4\right)=12+4\pi$ területű részt tud kizárni, ami kisebb a rendelkezésre álló négyzet területénél, $25$-nél. Tehát mindig van olyan pont, amelyiket az új kör középpontjának választva, az új kör benne van $N$-ben, és nem metszi a már elhelyezett idomokat.