A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Az 1388. gyakorlat megoldása során bizonyítottuk a következő segédtételt. Ha egy tetszőleges négyszög , oldalainak a metszéspontja , és a , átlók metszéspontja , akkor az egyenes akkor és csakis akkor felezi a szakaszt, ha . Ennek alapján, ha adott a szakasz felezőpontja, egyetlen egyenes vonalzó felhasználásával tetszőleges külső ponton át párhuzamost szerkeszthetünk -vel. Legyen ugyanis ez a külső pont, és legyen a szakasz -n túli meghosszabbításának tetszőleges pontja. Ekkor a , egyenesek metszéspontja lesz , és -et a , egyenesek metszéspontja adja.
Ha pedig az egymással párhuzamos , szakaszok adottak, az , pontok meghatározása után csak vonalzóval megszerkeszthetjük a szakaszt felező pontot. A feladatunkban mondott szerkesztést ennek a két lépésnek a felhasználásával a következőképpen végezhetjük el. Jelöljük az adott kör középpontját -val, és rajzoljuk meg a kör egyik átmérőjét, -t. A kör tetszőleges pontján át szerkesszünk az ismertetett eljárás szerint -vel párhuzamos egyenest, messe ez a kört másodszor -ban. A -n, -n átmenő átmérők másik végpontja legyen és . A párhuzamos , szakaszokból kiindulva szerkesszük meg a fenti eljárással az szakasz felezőpontját, és -n át szerkesszünk -sel párhuzamos egyenest. Messe ez a kört -ben és -ben, és a -n, -n átmenő átmérők másik végpontja legyen és . Ekkor szabályos hatszög.
Az háromszögben ugyanis , hiszen ezek a kör sugarai, és , mert a háromszög szimmetriatengelye. Emiatt szabályos háromszög, és szabályosak a vele egybevágó , , háromszögek is. Tehát az , , átmérők közti szögek -osak, és a mondott hatszög valóban szabályos. Lásd K. M. L. 47 (1973), 12. old. |