Kezdőlap


Feladat:	1508. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: -
Füzet:	1974/november, 142 - 143. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Húrsokszögek, Sokszögek szerkesztése, Síkgeometriai szerkesztések, Szabályos sokszögek geometriája, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1974/január: 1508. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az 1388. gyakorlat megoldása során^{$^{*}$} bizonyítottuk a következő segédtételt. Ha egy tetszőleges $T_{1} T_{2} T_{3} T_{4}$ négyszög $T_{2} T_{3}$ , $T_{4} T_{1}$ oldalainak a metszéspontja $U$ , és a $T_{1} T_{3}$ , $T_{2} T_{4}$ átlók metszéspontja $V$ , akkor az $U V$ egyenes akkor és csakis akkor felezi a $T_{1} T_{2}$ szakaszt, ha $T_{1} T_{2} ∥ T_{3} T_{4}$ . Ennek alapján, ha adott a $T_{1} T_{2}$ szakasz $W$ felezőpontja, egyetlen egyenes vonalzó felhasználásával tetszőleges külső ponton át párhuzamost szerkeszthetünk $T_{1} T_{2}$ -vel. Legyen ugyanis $T_{3}$ ez a külső pont, és legyen $U$ a $T_{2} T_{3}$ szakasz $T_{3}$ -n túli meghosszabbításának tetszőleges pontja. Ekkor a $T_{1} T_{3}$ , $U W$ egyenesek metszéspontja lesz $V$ , és $T_{4}$ -et a $T_{1} U$ , $T_{2} V$ egyenesek metszéspontja adja.

Ha pedig az egymással párhuzamos

T_{1} T_{2}

T_{3} T_{4}

szakaszok adottak, az

U

V

pontok meghatározása után csak vonalzóval megszerkeszthetjük a

T_{1} T_{2}

szakaszt felező

W

pontot. A feladatunkban mondott szerkesztést ennek a két lépésnek a felhasználásával a következőképpen végezhetjük el.
Jelöljük az adott kör középpontját

O

-val, és rajzoljuk meg a kör egyik átmérőjét,

A D

-t. A kör tetszőleges

P

pontján át szerkesszünk az ismertetett eljárás szerint

A D

-vel párhuzamos egyenest, messe ez a kört másodszor

Q

-ban. A

P

-n,

Q

-n átmenő átmérők másik végpontja legyen

R

és

S

. A párhuzamos

A O

P Q

szakaszokból kiindulva szerkesszük meg a fenti eljárással az

A O

szakasz

T

felezőpontját, és

T

-n át szerkesszünk

P S

-sel párhuzamos egyenest. Messe ez a kört

B

-ben és

F

-ben, és a

B

-n,

F

-n átmenő átmérők másik végpontja legyen

E

és

C

. Ekkor

A B C D E F

szabályos hatszög.

A B O

háromszögben ugyanis

A O = B O

, hiszen ezek a kör sugarai, és

A B = B O

, mert

B T

a háromszög szimmetriatengelye. Emiatt

A B O

szabályos háromszög, és szabályosak a vele egybevágó

C O D

D O E

A O F

háromszögek is. Tehát az

A D

B E

C F

átmérők közti szögek

60^{\circ}

-osak, és a mondott hatszög valóban szabályos.

^{$^{*}$}Lásd K. M. L. 47 (1973), 12. old.