Kezdőlap


Feladat:	1507. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: -
Füzet:	1974/november, 141 - 142. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Háromszögek nevezetes tételei, Súlyvonal, Szögfelező egyenes, Műveletek helyvektorok koordinátáival, Osztópontok koordinátái, Hossz, kerület, Vektorok felbontása összetevőkre, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1974/január: 1507. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Ismeretes, hogy ha az $X Y$ szakasz végpontjainak a helyvektora $x$ és $y$ , akkor az $X Y$ szakaszt $p : q$ arányban osztó pont helyvektora

\begin{matrix} z = \frac{q}{p + q} x + \frac{p}{p + q} y, \end{matrix}

feltéve, hogy

p + q \neq 0

.
Jelöljük az

A B C

háromszög

B

C

csúcsaiból húzott szögfelezők talppontjait

D

-vel és

F

-fel, akkor

\begin{matrix} \vec{A D} = \frac{c}{a + c} \vec{A C}, \vec{A F} = \frac{b}{a + b} \vec{A B}, \end{matrix}

hiszen

D

A C

-t

c : a

arányban és

F

A B

-t

b : a

arányban osztja.

\vec{A D}

\vec{A F}

vektorokból a háromszög

S

súlypontjához tartozó

\begin{matrix} \vec{A S} = \frac{1}{3} \vec{A B} + \frac{1}{3} \vec{A C} . \end{matrix}

Az előző megállapításainkat felhasználva

\begin{matrix} \vec{A S} = \frac{a + b}{3 b} \vec{A F} + \frac{a + c}{3 c} \vec{A D} \end{matrix}

alakban állítható elő. Mivel itt feltevésünk szerint

\begin{matrix} \frac{a + c}{3 c} + \frac{a + b}{3 b} = \frac{2}{3} + \frac{a}{3} (\frac{1}{b} + \frac{1}{c}) = 1, \end{matrix}

S

valóban rajta van a

D F

szakaszon, hiszen nem más, mint a

D F

szakaszt

\begin{matrix} \frac{b}{a + b} : \frac{c}{a + c} \end{matrix}

arányban osztó pont. Állításunkat ezzel bebizonyítottuk.