Feladat:	1506. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: -
Füzet:	1974/november, 140 - 141. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Magasabb fokú diofantikus egyenletek, Egyenlőtlenségek, Természetes számok, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1974/január: 1506. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. $\begin{array}{c}{\displaystyle a^b+b^a=10\cdot b^{a-2}+100.}\end{array}$ (1) Alakítsuk át (1)-et a következő módon: $\begin{array}{c}{\displaystyle a^b=b^{a-2}\left(10-b^2\right)+100.}\end{array}$ Először azokat a megoldásokat keressük, amelyekben $\left(10-b^2\right)>0$, azaz $b=1$, $2$ vagy $3$. Az első esetben (2)-ből $a=109$ adódik, tehát máris van egy megoldásunk: $a=109$, $b=1$. A második esetben (2)-ből $\begin{array}{c}{\displaystyle a^2=6\cdot 2^{a-2}+100}\end{array}$ (3) egyenletet kapjuk. Mivel $6\cdot 2^{a-2}$ pozitív, itt csak $10$-nél nagyobb értékek jöhetnének szóba $a$-ra, de $\begin{array}{c}{\displaystyle a^2<2^a\mathrm{,}\text{ha}a>\mathrm{4,}}\end{array}$ ami $2^a<1\mathrm{,}5\cdot 2^a+100=6\cdot 2^{a-2}+100$ miatt azt jelenti, hogy (3)-nak nincs gyöke a természetes számok körében. A (4) alatti állítás bizonyításának az érdekében először megjegyezzük, hogy ha $a=4$, akkor (4) két oldala éppen egyenlő. Ettől kezdve, ha $a$ értékét eggyel növeljük, a jobb oldalnak az értéke kétszeresére nő, a bal oldalnak a növekedése viszont ennél lassúbb: $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{{\left(a+1\right)}^2}{a^2}=\frac{a^2+2a+1}{a^2}<\frac{a^2+3a}{a^2}<\frac{a^2+a^2}{a^2}=2.}\end{array}$ Mivel tehát $a=4$ mellett (4) két oldala egyenlő, $a=5$ mellett a bal oldal már kisebb a jobb oldalnál, és ettől kezdve az is marad. A harmadik esetben $b=3$ helyettesítéssel (2)-ből az $\begin{array}{c}{\displaystyle a^3=3^{a-2}+100}\end{array}$ (5) egyenletet kapjuk. Itt $a^3>100$ miatt $a>4$, $a=5$, $6$ mellett a két oldal nem egyenlő, $a=7$ viszont újabb megoldást ad, ez a második gyöke (1)-nek: $a=7$, $b=3$. Ha $a\ge 8$, (5) bal oldala kisebb a jobb oldalnál, hiszen $a\ge 8$ mellett $\begin{array}{c}{\displaystyle a^3<3^{a-2}\mathrm{.}}\end{array}$ (6) Ezt ugyanúgy láthatjuk be, mint (4)-et: $a=8$ mellett (6) már igaz, és ettől kezdve, ha $a$ értékét $1$-gyel növeljük, a jobb oldal értéke megháromszorozódik, és a bal oldal növekedése ennél lassúbb: $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{{\left(a+1\right)}^3}{a^3}=\frac{a^3+3a^2+3a+1}{a^3}<\frac{a^3+3a^2+4a}{a^3}<\frac{a^3+4a^2}{a^3}<\frac{2a^3}{a^3}<3.}\end{array}$ Ezzel a $\left(10-b^2\right)>0$ eset vizsgálatát befejeztük. A $\left(10-b^2\right)<0$, azaz $b\ge 4$ eset vizsgálatát kezdjük $a$ kis értékeinek a vizsgálatával. Ha $a=1$, (1) a $\begin{array}{c}{\displaystyle b=\frac{10}{b}+99}\end{array}$ egyenletet jelenti. Ennek nyilván nincs gyöke a természetes számok körében. Ha $a=2$, (1)-ből a $\begin{array}{c}{\displaystyle 2^b+b^2=110}\end{array}$ (7) egyenletet kapjuk. Itt $2^b<110$ miatt $b\le 6$, ekkor viszont $2^b+b^2\le 2^6+6^2=100$, tehát (7)-nek nincs gyöke a természetes számok körében. Végül, ha $a\ge 3$ és $b\ge 4$, akkor a (2)-vel ekvivalens $\begin{array}{c}{\displaystyle a^b+b^{a-2}\left(b^2-10\right)=100}\end{array}$ egyenletnek nincs gyöke, hiszen a bal oldalon $\begin{array}{c}{\displaystyle a^b\ge 3^4=\mathrm{81,}{b}^{a-2}\ge \mathrm{4,}{b}^2-10\ge \mathrm{6,}}\end{array}$ így a bal oldal értéke legalább $81+4\cdot 6=105$. Összesen tehát két megoldást kaptunk, az $a=109$, $b=1$, és az $a=7$, $b=3$ értékpárokat.