A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Alakítsuk át (1)-et a következő módon: Először azokat a megoldásokat keressük, amelyekben , azaz , vagy . Az első esetben (2)-ből adódik, tehát máris van egy megoldásunk: , . A második esetben (2)-ből egyenletet kapjuk. Mivel pozitív, itt csak -nél nagyobb értékek jöhetnének szóba -ra, de ami miatt azt jelenti, hogy (3)-nak nincs gyöke a természetes számok körében. A (4) alatti állítás bizonyításának az érdekében először megjegyezzük, hogy ha , akkor (4) két oldala éppen egyenlő. Ettől kezdve, ha értékét eggyel növeljük, a jobb oldalnak az értéke kétszeresére nő, a bal oldalnak a növekedése viszont ennél lassúbb: | | Mivel tehát mellett (4) két oldala egyenlő, mellett a bal oldal már kisebb a jobb oldalnál, és ettől kezdve az is marad. A harmadik esetben helyettesítéssel (2)-ből az egyenletet kapjuk. Itt miatt , , mellett a két oldal nem egyenlő, viszont újabb megoldást ad, ez a második gyöke (1)-nek: , . Ha , (5) bal oldala kisebb a jobb oldalnál, hiszen mellett Ezt ugyanúgy láthatjuk be, mint (4)-et: mellett (6) már igaz, és ettől kezdve, ha értékét -gyel növeljük, a jobb oldal értéke megháromszorozódik, és a bal oldal növekedése ennél lassúbb: | |
Ezzel a eset vizsgálatát befejeztük. A , azaz eset vizsgálatát kezdjük kis értékeinek a vizsgálatával. Ha , (1) a egyenletet jelenti. Ennek nyilván nincs gyöke a természetes számok körében. Ha , (1)-ből a egyenletet kapjuk. Itt miatt , ekkor viszont , tehát (7)-nek nincs gyöke a természetes számok körében. Végül, ha és , akkor a (2)-vel ekvivalens egyenletnek nincs gyöke, hiszen a bal oldalon így a bal oldal értéke legalább . Összesen tehát két megoldást kaptunk, az , , és az , értékpárokat. |
|