|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Nézzük meg, hogy kilenc hatványainak mi lehet az utolsó két jegye.
Látjuk, hogy -nek utolsó két jegye ugyanaz, mint -nak, utolsó két jegye ugyanaz, mint -nek. Azt sejtjük, hogy hatványainak utolsó két jegye hosszúságú periódust alkot. Mivel egy -hatvány utolsó két jegyét megkaphatjuk úgy, hogy az előző hatvány utolsó két jegyét -cel megszorozzuk és ennek vesszük az utolsó két jegyét, azért ha két kilenchatványnak megegyezik az utolsó két számjegye, akkor a következőké is megegyezik, így a . és . hatvány utolsó két jegye is megegyezik, a . és . hatvány utolsó két jegye is, azaz a . hatvány is -re végződik. Így valóban hatványainak utolsó két jegye hosszúságú periódust alkot. Ezek szerint ahhoz, hogy megtudjuk utolsó két jegyét, elegendő azt tudnunk, hogy -t -zel osztva milyen maradékot kapunk, azaz -nak mi az utolsó jegye. Hasonlóan, mint az előbb, most hatványainak utolsó jegyét vizsgáljuk: | | (2) |
Láthatjuk, hogy ismét periodikus sorozatot kapunk, csak most a periódushossz lesz. Így utolsó számjegyének meghatározásához elég tudnunk, hogy -gyel osztva milyen maradékot ad. és , azért páros szám lesz: . Így , ahonnan osztható -cal, és így néggyel is, azaz néggyel osztva maradékot ad. (2) alapján látjuk, hogy utolsó jegye megegyezik utolsó jegyével. Így ez a jegy -as lesz, tehát utolsó jegye . (1) szerint ekkor utolsó két jegye megegyezik utolsó két jegyével, ami .
Tehát a hatvány utolsó két jegye .
Nagy Imre (Szombathely, Nagy Lajos Gimn., II. o. t.)
Megjegyzés. A feladatot , , és ismerete nélkül is megoldhatjuk, az eredmény nem változik. -ről csak annyit használtunk ki, hogy nem nulla, ezt is csak azért, hogy párosságát megmutassuk. |
PDF |