Kezdőlap


Feladat:	1504. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: -
Megoldó(k):	Bogdán Klára
Füzet:	1974/szeptember, 18 - 20. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Nevezetes azonosságok, Maradékos osztás, Szöveges feladatok, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1974/január: 1504. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelöljük $x$ -szel azoknak a dióknak a számát, melyek az utolsó osztozkodáskor jutottak egy-egy gyereknek. Így az utolsó osztozkodás előtt a zsákban $(5 x + 1)$ db dió volt. Az ötödik gyerek a zsákból egy diót a majomnak adott és a megmaradt diók egyötödét kivette, így maradt a zsákban $(5 x + 1)$ dió. Tehát előzőleg $1 + \frac{5}{4} (5 x + 1)$ diónak kellett a zsákban lennie. Ugyanígy kapjuk, hogy mielőtt a negyedik gyerek osztotta el a diókat, a zsákban

\begin{matrix} 1 + \frac{5}{4} (1 + \frac{5}{4} (5 x + 1)) \end{matrix}

diónak kellett lennie.
Ezt folytatva kapjuk, hogy a zsákban eredetileg

\begin{matrix} 1 + \frac{5}{4} {1 + \frac{5}{4} [1 + \frac{5}{4} (1 + \frac{5}{4} (1 + \frac{5}{4} (5 x + 1)))]} \end{matrix}

dió volt. A kijelölt műveleteket elvégezve, majd az

\begin{matrix} a^{6} - b^{6} = (a - b) (a^{5} + a^{4} b + a^{3} b^{2} + a^{2} b^{3} + a b^{4} + b^{5}) \end{matrix}

azonosságot felhasználva:

\begin{matrix} \frac{5^{6} x + 5^{5} + 5^{4} \cdot 4 + 5^{3} \cdot 4^{2} + 5^{2} \cdot 4^{3} + 5 \cdot 4^{4} + 4^{5}}{4^{5}} = \\ = \frac{5^{6} x + \frac{5^{6} - 4^{6}}{5 - 4}}{4^{5}} = \frac{5^{6} (x + 1)}{4^{5}} - \frac{4^{6}}{4^{5}} = \frac{5^{6} (x + 1)}{4^{5}} - 4. \end{matrix}

A feladat megfogalmazásából következik, hogy ennek természetes számnak kell lennie. Ehhez nyilván szükséges, hogy a különbség első tagja egész legyen, azaz

5^{6} \cdot (x + 1)

-nek oszthatónak kell lennie

4^{5}

-nel. A szorzat első tényezője relatív prím

4^{5}

-hez, azért

4^{5}

csak akkor lesz osztója a szorzatnak, ha a második tényezőnek,

(x + 1)

-nek osztója. Így

(x + 1)

értéke legalább

4^{5}

. A zsákban található diók száma akkor a legkevesebb, ha

x

a lehető legkevesebb. Így a zsákban eredetileg legalább

\begin{matrix} \frac{5^{6} \cdot 4^{5}}{4^{5}} - 4 = 15 621 \end{matrix}

dió volt.
Ha viszont a zsákban pontosan

15 621

dió volt, akkor a leírt osztozkodást el is lehetett végezni:

\begin{matrix} \begin{matrix} Az első gyerek elvitt & \frac{15 620}{5} & = 3124 diót, maradt 12 496 dió. \\ A második elvitt & \frac{12 495}{5} & = 2499 diót, maradt 9996 dió. \\ A harmadik elvitt & \frac{9995}{5} & = 1999 diót, maradt 7996 dió. \\ A negyedik elvitt & \frac{7995}{5} & = 1599 diót, maradt 6396 dió. \\ Az ötödik elvitt & \frac{6395}{5} & = 1279 diót, maradt 5116 dió. \\ Végül még mindegyik kapott. & \frac{5115}{5} & = 1023 diót. \end{matrix} \end{matrix}

Bogdán Klára (Cegléd, Táncsics M. Ált. Isk. 7. o. t.)