A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. 1. Azt állítjuk, hogy a maximális területű kivágott szabályos 12-szög lemeznek az adott háromszöglemez mindegyik oldalán van csúcspontja. Ha ugyanis egy szabályos 12-szög teljesen a belsejében van, akkor nagyítható az középpontjábóI mint centrumból olyan -vé, amelynek legalább egy csúcsa (azaz -től legtávolabbi pontjainak egyike) rajta van kerületén, de -nek nincs pontja -n kívül. Legyen egy ilyen csúcsa és -nak ehhez támaszkodó oldala . Ha -nek nincs pontja az , oldalak egyikén sem, akkor nagyítható az előbbi korlátozás mellett -má úgy a centrumból, hogy -nak már van egy csúcsa, mondjuk -n. És ha teljesen az -t tartalmazó felében volna a -vel kettévágott síknak, akkor az centrumból való alkalmas arányú nagyítással előálló szabályos 12-szögnek már a lemez oldalán is lesz egy csúcsa; legyenek a -ből és -ból most nyert csúcsok , ill. .
Tegyük fel egyenlőre, hogy -nek -ből induló oldalai közül egyik sem illeszkedik -re, ekkor tekintsük -ből felé haladva egymás utáni oldalainak irányszögét -hez mint alapirányhoz viszonyítva. Azt akarjuk ezzel belátni, hogy az -nek -től számítva negyedik csúcsa. Mivel a szabályos 12-szög külső szöge ezért az első oldal irányszöge és között van, a másodiké -é) -kal nagyobb, tehát és között, a -adiké és között. Másrészt irányszöge vagyis a -től számított 4. és 5. oldal irányszöge közé esik, és ez igazolja állításunkat. (Az 5. az .) oldal egyenese már -n túl metszi -t.) Hasonlóan az csúcs sorszáma -től is, -től is 4, ennélfogva a , , átlók egyenlők. Pontosabban megnézve az is adódik, hogy az utáni oldalnak -hez viszonyított irányszöge egyenlő a szöggel, így tehát a háromszögek (egyező körüljárással) egybevágók, egymásba átvihetők a háromszög középpontja körüli 120-os elfordításokkal. Ámde -nak, -nek és -nek ciklikusan egymásba 120-os elfordításokkal való átvitele csak -nak centruma körül lehetséges, eszerint -nek középpontja azonos -val. Azt is föltehetjük, hogy a ‐ ez csak jelölés dolga ‐, így Most már szinte nyilvánvaló, hogy az -nél nagyobb szabályos 12-szög lemez is kivágható -ból. Ilyet így kapunk: -et addig fordítjuk el körül, hogy párhuzamos legyen -vel ‐ eközben és az egész a belsejébe jut ‐, majd ezt a helyzetét nagyítjuk -ból. Az arányt növelve és (, , ) új helyzete egyszerre jut a háromszög kerületére és ennél nagyobb 12-szög nem vágható ki, hiszen akkor beírt körének sugara egyenlő a -ba írt kör sugarával. Mindjárt a nagyítások után adódott volna ez a helyzet, ha -nek egy oldala párhuzamos -vel, így vagy ráesik -re. 2. A kapott helyzetben szög fele akkora, mint a 12-szög belső szöge, eszerint egyenlő szárú háromszög, -t a körüli sugarú körrel metszhetjük ki, így pedig 30,9 mm (ahol az oldal felezőpontja).
3. Ismeretes, hogy a szabályos 12-szög területe 3-szor akkora, mint a körülírt kör sugara fölé szerkesztett négyzet területe: . . A háromszöglemez területe , a hulladék , ez része az adott lemez területének. |