Feladat:	1500. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: -
Füzet:	1976/szeptember, 17 - 18. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletrendszerek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1973/december: 1500. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. ${\displaystyle \begin{array}{ccc}\hfill {\displaystyle }& {\displaystyle x^2+y^2=\mathrm{13,}}\hfill & \text{(1)}\\ \hfill {\displaystyle }& {\displaystyle x^3+y^3=35.}\hfill & \text{(2)}\end{array}}$ 1. Rendszerünket könnyen átalakíthatjuk úgy, hogy új ismeretleneknek az $x+y=u$ összeget és az $xy=v$ szorzatot tekinthessük: ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle x^2+y^2={\left(x+y\right)}^2-2xy=u^2-2v=\mathrm{13,}}\hfill & \text{(<mn>1</mn><mi>a</mi>)}\\ \hfill {\displaystyle x^3+y^3={\left(x+y\right)}^3-3xy\left(x+y\right)=u^3-3uv=35.}\hfill & \text{(<mn>2</mn><mi>a</mi>)}\end{array}}$ Innen $v$-t kiküszöbölve: $\begin{array}{c}{\displaystyle u^3-39u+70=0.}\end{array}$ (3) Vegyük észre, hogy $u_1=2$ kielégíti az egyenletet, és így a bal oldal átalakítható $\left(u-2\right)$ és egy másodfokú polinom szorzatává: $\begin{array}{c}{\displaystyle \left(u-2\right)\left(u^2+2u-35\right)=0.}\end{array}$ Így pedig további két gyök adódik az $\begin{array}{c}{\displaystyle u^2+2u-35=0}\end{array}$ egyenletből: $u_2=5$, $u_3=-7$. Tehát (3) bal oldala így írható: $\begin{array}{c}{\displaystyle \left(u-2\right)\left(u-5\right)\left(u+7\right)\mathrm{.}}\end{array}$ Ez nem lehet $0$, ha $u$ értéke különbözik $2$-től, $5$-től és $-7$-től, tehát (3)-nak több gyöke nincs. $v$ megfelelő értékei $v_1=\left(u_1^2-13\right)/2=-4\mathrm{,}5$; $v_2=6$, $v_3=18$. 2. Mármost az ${\displaystyle \begin{array}{c}\hfill {\displaystyle x+y=u\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle xy=v}\hfill \end{array}}$ rendszerből $y$ kiküszöbölésével $\begin{array}{c}{\displaystyle x^2-ux+v=\mathrm{0,}{x}_{\mathrm{1,2}}=\frac{1}{2}\left(u\pm \sqrt[]{u^2-4v}\right)\mathrm{.}}\end{array}$ Ide $u$ és $v$ összetartozó párjait behelyettesítve az első két pár alapján két-két megoldását kapjuk az eredeti rendszernek: ${\displaystyle \begin{array}{ccc}{\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>u</mi><mo stretchy="false">=</mo><mn>2</mn></math>, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>v</mi><mo stretchy="false">=</mo><mo stretchy="false">-</mo><mn>4</mn><mn>,</mn><mn>5</mn></math> mellett:}}\hfill & {\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub></mrow><mo stretchy="false">=</mo><mn>3</mn><mn>,</mn><mn>345</mn></math>,}}\hfill & {\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><msub><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub></mrow><mo stretchy="false">=</mo><mo stretchy="false">-</mo><mn>1</mn><mn>,</mn><mn>345</mn></math>;}}\hfill \\ {\displaystyle }\hfill & {\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msub></mrow><mo stretchy="false">=</mo><mo stretchy="false">-</mo><mn>1</mn><mn>,</mn><mn>345</mn></math>,}}\hfill & {\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><msub><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msub></mrow><mo stretchy="false">=</mo><mn>3</mn><mn>,</mn><mn>345</mn></math>;}}\hfill \\ {\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>u</mi><mo stretchy="false">=</mo><mn>5</mn></math>, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>v</mi><mo stretchy="false">=</mo><mn>6</mn></math> mellett}}\hfill & {\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></msub></mrow><mo stretchy="false">=</mo><mn>3</mn></math>,}}\hfill & {\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><msub><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></msub></mrow><mo stretchy="false">=</mo><mn>2</mn></math>;}}\hfill \\ {\displaystyle }\hfill & {\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn>4</mn></mrow></msub></mrow><mo stretchy="false">=</mo><mn>2</mn></math>,}}\hfill & {\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><msub><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mn>4</mn></mrow></msub></mrow><mo stretchy="false">=</mo><mn>3</mn></math>. }}\hfill \end{array}}$ Az $u=-7$, $v=18$ értékpár nem ad valós $x$, $y$ értékpárt. ‐ Ezzel a megoldást befejeztük.   Megjegyzés. Könnyű felismerni, hogy a $\left(\mathrm{2,3}\right)$ és $\left(\mathrm{3,2}\right)$ egész számpárok kielégítik a rendszert. Erre támaszkodva grafikusan folytathatjuk a megoldást. (1)-nek az origó körül $r=\sqrt[]{13}$ sugárral írt kör pontjai tesznek eleget, (2)-nek a két tengelyen a $\left(\sqrt[3]{35}=3\mathrm{,}271;0\right)$, illetve a $\left(0;3\mathrm{,}271\right)$ pont, amelyek a kör belsejében vannak, hiszen $\sqrt[]{13}=3\mathrm{,}605>3\mathrm{,}271$.     Azt várjuk viszont, hogy a (2)-t ábrázoló vonal kilép a körből, hiszen $y=\sqrt[3]{35-x^3}$ alapján minden valós $x$ abszcisszán van (pontosan egy) pontja a vonalnak. Kilépési pontot valóban találunk $x=3\mathrm{,}3$ és $x=3\mathrm{,}4$ között ‐ és az egyenletek szimmetriája alapján $x$ és $y$ felcserélésével a negyedik megoldás is kiadódik. Így azonban csak abból mondhatjuk ki, hogy további megoldás nincs, hogy a (2)-t ábrázoló görbe monoton süllyed.