Feladat: 1499. matematika gyakorlat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: -
Füzet: 1974/október, 70 - 71. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Tizes alapú számrendszer, "a" alapú számrendszer (a >1, egész szám), Szorzat, hatvány számjegyei, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1973/december: 1499. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

N és M jegyeinek száma 12, illetve 11, azért N>M. N első jegyeiről M kétszerese ,,jut eszünkbe'' ugyanis 2M=2468E13579T, de ez még mindig csak 11 jegyű. A 20M szorzat sem éri el az N értékét, viszont N-20M ,,véletlenül'' éppen M-et adja. Erről könnyen meggyőződhetűnk. A kivonást hasonlóan végezzük, mint a tízes számrendszerben:
1-20N=259036T1478E-20M=2468E13579T01-20M=2123456789TE
azaz pl. 0-hoz, hogy E legyen kell E,T-hez, hogy 8 legyen ‐ azaz (12+8)=20-ig ‐ kell 10, vagyis T és ,,marad 1'' és így tovább.
Ez viszont azt jelenti, hogy N=21M, ami természetesen a tizenkettő alapú számrendszerben értendő.
Áttérve a tízes számrendszerre
1221=2⋅12+1=25=52,
tehát
NM=21(123456789TE)2=(5⋅123456789TE)2.

Ezzel a feladat állítását igazoltuk.
 

Megjegyzések. 1. Az adott számok közül az elsőnek érdekessége, hogy egymás után áll benne a tizenkettő alapú számrendszer minden jegye ‐ a 0 kivételével. (A második számban a 0 is pontosan egyszer lép fel.)
2. Jó lesz hangsúlyozni, hogy vizsgálatunk egyszerűre fordulása nem volt szükségszerű, pl. fordított szereposztásban ‐ mint már tudjuk ‐ M=(1/5)2N, ennek felismerése a ,,tizenkettedes-tört'' alakban viszont nehéz lenne 1/21=0,059135443T0... (húszjegyű szakasz). Az volt szerencsés; hogy N/M égész szám. Egyébként tízes szemrendszerre átírva a következe két számrím volt szó:
M=73686780563,N=1842169514075.