Feladat: 1497. matematika gyakorlat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: -
Füzet: 1974/november, 137 - 138. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Kocka, Kombinatorikus geometria térben, Hossz, kerület, Térelemek és részeik, Térgeometriai számítások trigonometria nélkül, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1973/november: 1497. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Vizsgáljuk meg, egymáshoz viszonyított helyzetük szerint hányféleképpen választhatunk ki két felezőpontot a kocka élein.
a) Első eset: a választott felezőpontok a kocka két párhuzamos élén vannak. Ha ugyanazon a lapon, akkor felező merőleges síkjuk áthalad az illető lapon levő másik két él felezőpontján.
Ha a két párhuzamos él a kocka egy átlós síkját határozza meg, akkor felező merőleges síkjuk a kiválasztott élekkel párhuzamos másik két él felezőpontján megy át.
b) Második eset: a két kiválasztott felezőpont a kocka egy csúcsából kiinduló két élen van. Ebben az esetben felező merőleges síkjuk közös csúcsból kiinduló harmadik él és a vele átlósan párhuzamos él felezőpontján megy át.
c) A harmadik eset az, amikor a kiválasztott két felezőpont a kocka két kitérő élén van. Ekkor azt fogjuk belátni, hogy az így kiválasztott P és Q pontokhoz mindig található két felezőpont, amelyek P-től és Q-tól egyenlő távolságra vannak, így tehát rajta vannak a P, Q közti szakasz felező merőleges síkján.

 

 

Gondoljuk meg először, hogy a keresett két felezőpont egyike sem lehet a P-t, ill. Q-t tartalmazó a, b él egyikével, pl. a-val párhuzamost c élen, mert akkor a felezőpontok távolsága kockaélnyi lenne, s ez akkor lenne egyenlő a másik felezőponttól vett távolsággal, ha c∥b lenne. Ez pedig a és b kitérő volta miatt lehetetlen. A keresett felezőpontot tartalmazó élnek, tehát vagy van közös pontja a-val is és b-vel is, vagy a-hoz és b-hez is kitérő.
Az első esetben a kocka a és b élére merőleges és mindkettőt metsző d él felezőpontja lesz egyenlő távolságra P-től és Q-tól. Legyen a kocka éle egységnyi, Pitagorasz-tétel felhasználásával adódik, hogy PX=XQ=12.
A második esetben a d éllel átlósan párhuzamos e él Y felezőpontjáról van szó, ekkor PY=QY=32. Megtaláltuk a keresett két pontot, tehát állításunkat bebizonyítottuk.