Kezdőlap


Feladat:	1494. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: -
Megoldó(k):	Szilágyi Sándor
Füzet:	1974/szeptember, 17. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Maradékos osztás, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1973/november: 1494. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Egy szám akkor osztható $2$ 1-gyel, ha $3$ -mal és $7$ -tel is osztható. Vizsgáljuk tehát a $2^{n} + 1 (n \geq 0)$ kifejezést először a $7$ -tel való oszthatóság szempontjából.
Írjuk fel $n$ -t $(3 k + r)$ alakban, ahol $r = 0$ , $1$ , $2$ , és az $a^{n} - b^{n} = (a - b) (a^{n - 1} + a^{n - 2} b + ... + b^{n - 1})$ ismert azonosság felhasználásával alakítsuk át a kifejezést.

\begin{matrix} 2^{3 k} + 1 = {(2^{3})}^{k} - 1 + 2 = 7 (8^{k - 1} + 8^{k - 2} + ... + 1) + 2 \\ 2^{3 k + 1} + 1 = 2 \cdot 2^{3 k} + 1 + 2^{3 k} - 2^{3 k} = 3 \cdot 2^{3 k} - (2^{3 k} - 1) \\ 2^{3 k + 2} + 1 = 5 \cdot 2^{3 k} - (2^{3 k} - 1) . \end{matrix}

Mindhárom esetben az átalakítás után kapott kifejezés egyik tagja többszöröse

7

-nek, a másik nem, tehát eredeti kifejezéseink egyike sem osztható

7

-tel. További vizsgálatra nincs szükség, mivel

2

bármelyik kitevője felírható az előző alakok egyikeként.
Nincs tehát egyetlen olyan kitevő sem, amelyre

2^{n} + 1

osztható lenne

7

-tel, s így természetesen

21

-gyel sem osztható.

Szilágyi Sándor (Törökszentmiklós, Bercsényi M. Gimn. III. o. t.)