Feladat:	1493. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: -
Füzet:	1975/október, 67 - 68. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Számelmélet alaptétele, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1973/november: 1493. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{ABC}{BAD}=\frac{C}{D}}\end{array}$ (1) Először is megállapítjuk, hogy sem $A$, sem $B$ nem lehet 0, hiszen 0-sal nem kezdődhet szám. Továbbá $D$ sem lehet 0, mert $D$ a nevezőben szerepel. Végül $C$ sem lehet 0, hiszen $C=0$ esetén az egyenlőség csak $ABC=0$ esetben állhatna fenn, noha $ABC\ge 100$. Az (1) feltételt $\begin{array}{c}{\displaystyle \left(10AB+C\right)\cdot D=\left(10BA+D\right)\cdot C}\end{array}$ alakba írjuk át. Mindkét oldalból $C\cdot D$-t levonva kapjuk, hogy $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{AB}{BA}=\frac{C}{D}\mathrm{.}}\end{array}$ (2) Ez a feltétel ekvivalens az eredetivel, így elegendő (2) megoldásait megkeresnünk, azok és csak azok lesznek (1) megoldásai is. (2) szerint $A$ és $B$, illetve $C$ és $D$ értékeit felcserélve (2) újból teljesül, így elég egyelőre az $A>B$ feltételt is kielégítő megoldásokat néznünk. (2)-t tovább alakítva kapjuk $\begin{array}{c}{\displaystyle 9\left(A\cdot D-B\cdot C\right)=\left(A+B\right)\left(C-D\right)\mathrm{,}}\end{array}$ (3) azaz $\left(A+B\right)\left(C-D\right)$ osztható 9-cel. De mivel sem $C$, sem $D$ nem lehet nulla, továbbá $C$ és $D$ különböző számjegyek, azért $0\ne |C-D|\le 9-1=8$, azaz $\left(C-D\right)$ legfeljebb 3-mal lehet osztható. Így $A+B$ feltétlenül osztható 3-mal, azaz $A+B$ értéke lehet 3, 6, 9, 12 és 15. Ha $A+B=3$, akkor $A>B$ miatt csak $A=\mathrm{2,}B=1$ lehetséges, (2) pedig így alakul: $21/12=7/4=C/D$, innen $C=\mathrm{7,}D=4$, (ugyanis $7D=4C$, azaz $C$ héttel osztható, de $1\le C\le 0$, így $C=7$). Ha $A+B=6$, akkor $A=\mathrm{5,}B=1$ vagy $A=\mathrm{4,}B=2$. Azonban (2)-t felírva egyik esetben sem sikerül megfelelő $C$ és $D$ számjegyeket találnunk. Ha $A+B=9$, akkor vagy $A=\mathrm{8,}B=1$, innen $C=\mathrm{9,}D=2$; vagy $A=\mathrm{7,}B=2$, innen $C=\mathrm{8,}D=3$; vagy $A=\mathrm{6,}B=3$, innen $C=\mathrm{7,}D=4$; vagy végül $A=\mathrm{5,}B=4$ esetén $C=\mathrm{6,}D=5$, de az utóbbi nem megoldás, mert $A$ és $D$ értéke nem különböző. Végül az $A+B=12$, illetve $A+B=15$ esetekben nem kapunk további megoldásokat. Így a feladatnak ‐ az $A>B$ követelményt most már feladva ‐ 8 megoldása van, ezek:   ${\displaystyle \begin{array}{c}\hfill {\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>A</mi></math> 2 1 8 1 7 2 6 3}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>B</mi></math> 1 2 1 8 2 7 3 6}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>C</mi></math> 7 4 9 2 8 3 7 4}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>D</mi></math> 4 7 2 9 3 8 4 7 }}\hfill \end{array}}$