Feladat:	1492. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: -
Füzet:	1974/november, 136 - 137. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Szorzat, hatványozás azonosságai, Azonosságok, Természetes számok, Szélsőérték-feladatok differenciálszámítás nélkül, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1973/november: 1492. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. $\begin{array}{c}{\displaystyle 2abcd-\left(abc+abd+acd+bcd\right)}\end{array}$ (1) I. megoldás. Alakítsuk át (1)-et a következőképpen: $\begin{array}{c}{\displaystyle 2abcd-\left(abc+acd+abd+bcd\right)=abcd\left[2-\left(\frac{1}{d}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{a}\right)\right]\mathrm{.}}\end{array}$ Az első tényező értéke akkor lesz a legkisebb, ha az $1$, $3$, $5$, $7$ számokat helyettesítjük a változók helyére valamilyen sorrendben. Azt állítjuk, hogy a betűk ilyen megválasztása esetén lesz a lehető legkisebb a szögletes zárójelben álló tényező értéke is. Ugyanis pozitív $a$, $b$, $c$, $d$ számok reciprokainak az összege is pozitív, s ezt $2$-ből levonva, akkor kapjuk a lehető legkisebb értéket, ha a reciprokok összege a legnagyobb, azaz ha $a$, $b$, $c$, $d$ értékei a legkisebb páratlan számok. Ezzel az állítást bizonyítottuk.   II. megoldás. Az (1) kifejezésbe a változók helyébe a legkisebb pozitív számokat, $1$, $3$, $5$, $7$-et helyettesítve az eredmény $\begin{array}{c}{\displaystyle 2\cdot 105-\left(15+21+35+105\right)=34>0.}\end{array}$ Bármilyen, a feltételnek eleget tevő számnégyesből indulunk is ki, a számokat mindig kettővel csökkentve, különböző páratlan számok sorozatán át ‐ elég sok lépés után ‐ elérhetjük, hogy a legkisebb szám $1$-re, a nagyság szerint következő $3$-ra, a következő $5$, illetve $7$-re csökkenjen. Elegendő tehát azt belátnunk, hogy a változók bármelyikét csökkentve a kifejezés értéke is csökken. Az (1) szimmetriája miatt mindegy, hogy melyik változót csökkentjük. Írjuk a helyébe a következő $a$-nál kisebb páratlan számot: $\begin{array}{c}{\displaystyle 2\left(a-2\right)bcd-\left[\left(a-2\right)bc+\left(a-2\right)bd+\left(a-2\right)cd+bcd\right]\mathrm{.}}\end{array}$ A változás: $\begin{array}{c}{\displaystyle N=4bcd-2bc-2bd-2cd\mathrm{.}}\end{array}$ Erről kell belátni, hogy pozitív. Tegyük fel, hogy a három szám közül $b$ a legnagyobb, $d$ a legkisebb: $b>c>d$. Ekkor: $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{1}{2}N=b\left(2cd-c-d\right)-cd>c\left(2cd-c-d\right)-cd\mathrm{,}}\end{array}$ elég tehát azt igazolni, hogy $\begin{array}{c}{\displaystyle 2cd-c-d>d\mathrm{,}}\end{array}$ azaz $\begin{array}{c}{\displaystyle 2d\left(c-1\right)>c\mathrm{,}}\end{array}$ ami valóban igaz, hiszen $d\ge 1$ miatt $2d\left(c-1\right)\ge 2c-2=c+\left(c-2\right)>c$, mert $c-2\ge d\ge 1$. Ez más szóval azt jelenti, hogy (1) a legkisebb akkor lesz, ha a változók értéke a legkisebb, azaz $1$, $3$, $5$ és $7$.