A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. | | (1) |
I. megoldás. Alakítsuk át (1)-et a következőképpen: | | Az első tényező értéke akkor lesz a legkisebb, ha az , , , számokat helyettesítjük a változók helyére valamilyen sorrendben. Azt állítjuk, hogy a betűk ilyen megválasztása esetén lesz a lehető legkisebb a szögletes zárójelben álló tényező értéke is. Ugyanis pozitív , , , számok reciprokainak az összege is pozitív, s ezt -ből levonva, akkor kapjuk a lehető legkisebb értéket, ha a reciprokok összege a legnagyobb, azaz ha , , , értékei a legkisebb páratlan számok. Ezzel az állítást bizonyítottuk. II. megoldás. Az (1) kifejezésbe a változók helyébe a legkisebb pozitív számokat, , , , -et helyettesítve az eredmény | | Bármilyen, a feltételnek eleget tevő számnégyesből indulunk is ki, a számokat mindig kettővel csökkentve, különböző páratlan számok sorozatán át ‐ elég sok lépés után ‐ elérhetjük, hogy a legkisebb szám -re, a nagyság szerint következő -ra, a következő , illetve -re csökkenjen. Elegendő tehát azt belátnunk, hogy a változók bármelyikét csökkentve a kifejezés értéke is csökken. Az (1) szimmetriája miatt mindegy, hogy melyik változót csökkentjük. Írjuk a helyébe a következő -nál kisebb páratlan számot: | |
A változás: Erről kell belátni, hogy pozitív. Tegyük fel, hogy a három szám közül a legnagyobb, a legkisebb: . Ekkor: | | elég tehát azt igazolni, hogy azaz ami valóban igaz, hiszen miatt , mert . Ez más szóval azt jelenti, hogy (1) a legkisebb akkor lesz, ha a változók értéke a legkisebb, azaz , , és . |
|