A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Állítsunk merőlegest az oldalra a végpontjaiban és jelöljük az -ban emelt merőlegesnek a körrel való metszéspontját -gyel, a -ből kapott metszéspontot pedig -gyel (1. ábra).
1. ábra Így a (félkörnél kisebb) és ívek pontjainak ‐ és csakis ezeknek ‐ az egyenesen levő vetületei esnek az szakasz egyik vagy másik meghosszabbítására. Thalész-tétele alapján és a körnek átmérői és ezért . Ugyanezt elvégezve a és a oldal esetében is, metszéspontként a -ből induló átmérő végpontját, valamint ismét -et, -et kapjuk, és a egyenesen a félkörnél kisebb, egymással egyenlő és ívek, a -n pedig a ívek pontjai adnak a meghosszabbításra eső vetületet. Jelöljük a kapott , , körívhez tartozó kerületi szöget rendre -gyel, -gyel, -gyel; ezekkel és a kör sugarával kifejezhetjük egyrészt a kérdéses ívösszegeket:
másrészt az háromszög szögeit. Ha az eredeti háromszög hegyesszögű (1. ábra), akkor az , , pont a körből rendre a , , oldal által lemetszett (félkörnél kisebb) íven van és az (1)-ben felsorolt hat ív hézagtalanul és átfedés nélkül kitölti a kör kerületét. Ezért egyrészt | | továbbá arányukra a közlés szerint amiből , , , ezekből pedig háromszögünk szögei:
2. Tekintsük most a kérdéses ívösszegeket egy tompaszögű háromszögben, legyenek ennek szögei rendre , , , úgy, hogy , és állapítsuk meg a (fentiekhez hasonlóan vett) , és összegek nagyságviszonyát, hogy a , , csúcsokat helyesen feleltethessük meg a kívánt , , csúcsoknak (2. ábra).
2. ábra Az csúcsot nem tartalmazó ív nagyobb félkörnél, ezen pontjainak sorrendje , , , , , és az egymás utáni pontok közti ívek már mind kisebbek félkörnél. Az ívek arányához elég lesz kifejeznünk a , az és a ívekre néző kerületi szögeket:
Mivel , azért , továbbá a szög mindkettőjüknél kisebb, mert az -nek is, a -nek is része. És mivel az arány tagjai különbözők, azért és a oldal szerepét -nek, -ét -nek és szerepét -nak kell átadnunk, azaz , , szerepét rendre -nek, -nak, -nek. Az arányokból egyrészt
másrészt | | Ezeket behelyettesítve
3. Mindezek szerint a partnerünk által alapul vett háromszög egymás utáni szögei vagy , , , vagy , , . ‐ Mondhatjuk ezt is: az , , csúcs vagy egy szabályos -szögnek rendre az első, a hatodik, ill. a tizedik csúcsával azonos, vagy pedig egy szabályos -szögnek rendre az első, a hatodik, a nyolcadik csúcsával. Megjegyzés. Derékszögű nem lehetett az háromszög, mert akkor az átfogó egyenesén nem lenne a hosszabbításra eső vetületi pont, a megfelelő ív arányszám lenne az adottaktól eltérően.
|