Kezdőlap


Feladat:	1489. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: -
Megoldó(k):
Füzet:	1974/november, 135 - 136. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Valós számok és tulajdonságaik, Algebrai átalakítások, Geometriai egyenlőtlenségek, Ellenpélda, mint megoldási módszer a matematikában, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1973/október: 1489. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az $a$ , $b$ , $c$ hosszúságú szakaszokból akkor lehet háromszöget szerkeszteni, ha

\begin{matrix} a + b > c; a + c > b; b + c > a; \end{matrix}

mindegyike fennáll.
Ahhoz, hogy az

a'

b'

c'

szakaszokból is szerkeszthessünk háromszöget, teljesülniük kell az

\begin{matrix} a' + b' > c'; \end{matrix}

(1)

\begin{matrix} a' + c' > b'; \end{matrix}

(2)

\begin{matrix} b' + c' > a' \end{matrix}

(3)

egyenlőtlenségeknek. Elég az egyiket belátni, a másik kettő ebből már következik a betűk ciklikus cseréjével.
Helyettesítsük (1)-be

a'

b'

c'

helyére a definiáló összefüggéseket, ekkor azt kapjuk, hogy

\begin{matrix} \frac{a}{a + 1} + \frac{b}{b + 1} > \frac{c}{c + 1} . \end{matrix}

Mivel

(a + 1) (b + 1) (c + 1) > 0

, az egyenlőtlenséget megszorozhatjuk vele:

\begin{matrix} a (b + 1) (c + 1) + b (a + 1) (c + 1) > c (a + 1) (b + 1), \\ a b c + a b + a c + a + a b c + a b + b c + b > a b c + a c + b c + c, \\ a b c + 2 a b + a + b > c . \end{matrix}

Ez viszont teljesül, ugyanis

a + b > c

, és

a b c + 2 a b > 0

.
Az állítás megfordítása nem igaz, azaz ha az

a'

b'

c'

szakaszokból szerkeszthető háromszög, akkor az

a

b

c

szakaszokból nem biztos, hogy szerkeszthető.
Legyen pl.

\begin{matrix} a' = \frac{3}{4}, b' = \frac{3}{4}, c' = \frac{9}{10}, \end{matrix}

ekkor

a = 3

b = 3

c = 9

.
Az

a'

b'

c'

szakaszokból szerkeszthető háromszög, de

a + b < c

miatt az

a

b

c

szakaszokból nem.