Kezdőlap


Feladat:	1488. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: -
Füzet:	1974/április, 166 - 167. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Nevezetes azonosságok, Diofantikus egyenletek, Természetes számok, "a" alapú számrendszer (a >1, egész szám), Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1973/október: 1488. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

a) Jelöljük a számrendszer alapszámát $a$ -val. A 4, 4, 1 jegyekkel megadott háromjegyű szám a következőképpen írható fel:

\begin{matrix} A = 4 4 1 = 4 a^{2} + 4 a + 1 = {(2 x + 1)}^{2} . \end{matrix}

Tehát

A

valóban teljes négyzet. Az

a > 4

feltétel csak azért szükséges, hogy a számrendszer jegyei között szerepeljen a 4-es.
b) Ha

A

teljes köb, akkor az előző kifejezésből következik, hogy

(2 a + 1)

maga is teljes köb, azaz hogy

\begin{matrix} 2 a + 1 = n^{3}, \end{matrix}

innen

\begin{matrix} a = \frac{n^{3} - 1}{2} . \end{matrix}

Mivel

a

a feltétel szerint egész, azaz

n = 2 k + 1

és

a > 4

miatt

k = 1, 2, 3, ...

. Így

A

teljes köb, ha a számrendszer alapszáma 13, 62, 171,

...

c) Ha

A

teljes negyedik hatvány, akkor

(2 a + 1)

teljes négyzet, tehát

\begin{matrix} 2 a + 1 = n^{2}, \end{matrix}

ebből

\begin{matrix} a = \frac{n^{2} - 1}{2} . \end{matrix}

Az előzőhöz hasonlóan

n

most is páratlan,

n = 2 k + 1

és

a > 4

miatt

k = 2, 3, ...

.
Így

A

teljes negyedik hatvány, ha a számrendszer alapszáma 12, 24, 40,

...

. Ezzel a feladatot megoldottuk.

Megjegyzés. A feladat egyértelműen a 441 alakú számról beszél, tehát nem kellett vizsgálni a 414, illetve a 144 alakú számokat, ahol az előbbi számra nem is teljesül a feladatnak az a kikötése, hogy bármely

a > 4

alapú számrendszerben teljes négyzet ‐ mint ahogy több megoldó tette.