A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. | | (1) | I. megoldás. A megoldáshoz felhasználjuk a következő összefüggést: , ahol az törtrészét jelenti, azaz . Eszerint (1) így alakul:
Mivel , a (2) bal oldalán álló összeg és közé esik, így is fennáll, ebből A kapott értéket (1) jobb oldalába helyettesítve: Mivel az (1) bal oldalán álló kifejezések mindegyike egész, ezért összegük is egész, azaz egész. (3)-ból értéke és közé eső érték lehet. Írjuk fel táblázatban szóba jövő értékeit, számítsuk ki a hozzájuk tartozó értékeket, helyettesítsük ezeket az (1) bal oldalán álló kifejezésekbe. Összegüket egybevetve -nel [ami (1) jobb oldalának megfelelő értéke] mindjárt kiolvashatjuk a táblázatból, hogy mikor áll fenn egyenlőség.
Tehát az egyenlőség x=-0,4; 0,2; 0,8; 1,4; 2,0; értékekre teljesül. Telek József (Budapest, Berzsenyi D. Gimn. II. o. t.)
II. megoldás. Ábrázoljuk a [2x-13]+[4x+16] és az 5x-43 függvényeket.
Az egészrész függvény grafikonja az x tengellyel párhuzamos szakaszokból áll. Mindig egész y értéket vesz fel. A szakasz jobb oldali végpontja hozzátartozik a függvényhez, a bal oldali nem. A grafikonról leolvashatjuk, hogy a két függvénynek közös pontja van az y=2, y=1, y=0, y=-1, y=-2 függvények egy-egy szakaszán. A hozzájuk tartozó x értékeket pontosan meghatározhatjuk. Ha 5x-43=2, akkor x=2, és így tovább x-re a következő értékeket kapjuk: x=2, 75; 45; 15; -25. Megjegyzés. Hasonló típusú egyenletek megoldásánál a grafikonról leolvashatjuk, hogy a megoldások száma attól függ, hányszor metszi át az adott egyenes az egészrész függvényt ábrázoló szakaszokat. A szakaszok végpontjai két párhuzamos egyenesen helyezkednek el. Nincs megoldás, ha az egyenletben megadott egyenes mindenütt a két párhuzamos közti sávon kívül halad. Végtelen sok megoldás van, ha az egyenes a sávon belül halad, nem párhuzamos az x tengellyel, vagy egybeesik valamelyik szakasszal. III. Megoldás. Tekintsük új ismeretlennek az első szögletes zárójelben álló kifejezést: erre az ismeretlenre (1) a egyenletet jelenti. A bal oldalon álló szám n≤y<n+12 mellett (ahol n egész szám) 2n-nel, n+12≤y<(n+1) mellett (2n+1)-gyel egyenlő. Mindkét esetben egyenlő a bal oldal [2y]-vel, (5) tehát ekvivalens a egyenlettel. Ebből némi átalakítással a egyenletet kapjuk. Itt a bal oldal értéke 0 és 1 közötti szám (0 lehet, de 1 nem), tehát a jobb oldalon álló kifejezés értéke is ilyen: 0≤1-y2<1,-1<y≤1.
Eszerint (6) bal oldalának lehetséges értékei: [2y]=-2, -1, 0, 1, 2, amiből (6), majd (4) alapján rendre
y=-35;-15;15;35;1,x=-25;15;45;75;2
adódik. Behelyettesítéssel ellenőrizhetjük, hogy ezek mindegyike gyöke (1)-nek. |
|