Feladat: 1486. matematika gyakorlat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: -
Füzet: 1974/április, 164 - 166. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Számelrendezések, Természetes számok, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1973/október: 1486. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A következő 11 számot kell beírnunk az ábrába:

 


(1)  1,  2,  3,  5,  7,  11,  13,  17,  19,  23,  29 (2) (2) (3) x (3) (2) (2) (3) (3) (4) (4) (4) (4)
 


(az egyes számok alatti jelekre alább fogunk hivatkozni), az összegnek pedig a kettős vonallal összekötött 3‐3 számból 47-nek kell lennie (a törzsszámok sorozatának folytatása (1) után: 31, 37, 41, 43, 47, ...), az egyes vonallal összekötött 3‐3 számból pedig 3⋅11=33-nak.
A 2, az egyetlen páros törzsszám kivételével mindegyik számunk és összegünk, valamint a vonalainkon álló számok száma is páratlan, ezért a 2 nem tartozhat bele egyetlen vonalba sem, ez jut az elszigetelt körbe.
 

 

Jelöljük a felső vonal közepén álló (a legtöbb összegben szereplő) számot x-szel. Az ide alulról befutó három vonal együttes összege 47+33+47, és ez az így háromszor számított x-et a két kettős vonalú vízszintesnek 47+47 összegével haladja meg. Innen 3x=33, tehát csak x=11-ről lehet szó ‐ amennyiben egyáltalán van megoldása a feladatnak; másrészt 11 az (1)-ben is szerepel.
A 11-et két egyszeresen rajzolt vonal 2‐2 számával kell kiegészítenünk 33-ra. Ez (1) számaiból éppen kétféleképpen lehetséges:
33-11=22=19+3=17+5,(2)
ezért az ábra y jelű köreibe csak a 3, 5, 17 és 19 számok írhatók be valamilyen sorrendben, ezt jelölik az (1) felsorolás alatti (2) jelzőszámok, és fordítva, e négy szám egyike sem írható más körbe.
A 11-es szám két kettősen rajzolt vonalba is beletartozik. A megfelelő kiegészítésre ismét éppen két lehetőség van:
47-11=36=29+7=23+13,(3)
tehát a 7, 13, 23 és 29 számok a z jelű körökbe írandók be valamilyen elrendezésben.
Ezek után az alsó csúcsra a még "el nem kötelezett'' 1-es számunk jut, és az ide befutó két vonal lehetséges betöltései az előírt számokból:
33-1=32=29+3=19+13,(4)
ismét éppen kétféleképpen.
Az eddigiek alapján az ábra két felső csúcsába csak a (2)-ben és (4)-ben egyaránt igényelt 3 és 19 számok írhatók be. Elhelyezésük tetszőleges, mert az eddig beírt három szám az ábra szimmetriatengelyében van. Válasszuk a 3-as helyéül a bal felső csúcsot, ebből előbb a (2), (4), majd a (3) alapján egymás után egyértelműen következik a 19, a 29 és 13, a 7 és 23 helye. Az is következik (2)-bő1, hogy a hátralevő 5 és 17 számainkat bárhogy írjuk is be a két még üres körbe, a függőleges vonal összege megfelelő lesz. A probléma csak az, hogy teljesülhetnek-e a kettősen rajzolt vízszintes vonalakra előírt összegek.
Nos, közülük az alsónak a befejezéséhez szükséges szám
47-(29+13)=5,
"szerencsénkre'' éppen megvan (1)-ben, sőt a (2)-ben is. Így pedig az utolsónak maradt 17-est az utolsónak maradt köröcskébe írva, szükségképpen megfelelő lesz a felső vízszintes kettős vonalú összege is, mert ezt úgy kapjuk az x-ből lefutó három vonal együttes összegéből, hogy elhagyjuk belőle 3x-et és az alsó kettős vonalon álló összeget:
(47+33+47)-(3x+47)=47.

Megjegyzések. 1. A 2-es számunk elhelyezése után sorra vehetjük az alája írandó szám megállapítását is. Ez csak annyi lehet, amennyi az (1) számok összegéből marad, ha levonjuk belőle a három vízszintes vonalnak és a 2-esnek az összegét. A fent követett számítás ebben a változatban is sorra kerül, de úgy nem kell elvégeznünk a most mondott soktagú összeadást.
2. A feladatot a Füles c. hetilap 1970. október 29-i számának egyik kérdéséből írta át a szerkesztőség. A különbözőség csak az, hogy ott az (1) számok, valamint az összegértékek ki voltak mondva, itt viszont ‐ lapunk más jellegének megfejelően ‐ ezeket a megoldónak magának kellett megállapítania.