Feladat:	1485. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: -
Füzet:	1974/május, 212. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Geometriai egyenlőtlenségek, Hossz, kerület, Terület, felszín, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1973/szeptember: 1485. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   Először belátjuk, hogy $\begin{array}{c}{\displaystyle AD>DB\left(2\right)\text{ és }AE>EC\mathrm{.}}\end{array}$ (3) Az $ADE$ háromszög területe ‐ amely a feltétel szerint egyenlő a $DECB$ négyszög területével ‐, nagyobb a $DBE$ háromszög területénél, ami a négyszögnek csupán része. E két háromszögben az $AD$-hez, illetve $DB$-hez mint alaphoz tartozó magasság közös, ezért az alapokra valóban fennáll (2). Ebből pedig a $B$, $C$ betűpár, valamint a $D$, $E$ pár felcserélésével adódik (3). Másrészt az $ADE$ háromszögben $\begin{array}{c}{\displaystyle AD+AE>DE\mathrm{.}}\end{array}$ (4) Összeadva a (2), (3) és (4) egyenlőtlenségek megfelelő oldalait, majd rendezve $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{AD+AE}{BD+DE+EC}>\frac{1}{2}\mathrm{,}}\end{array}$ amiből nyilvánvalóan következik a feladat állítása.