Feladat:	1484. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: -
Füzet:	1974/május, 211 - 212. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Alakzatok szimmetriái, Egyenlő szárú háromszögek geometriája, Terület, felszín, Négyzetek, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül háromszögekben, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül négyszögekben, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1973/szeptember: 1484. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.     1. ábra   Jelöljük a négyzet oldalát $a$-val, csúcsait $A$, $B$, $C$ és $D$-vel, az $AB$ oldal felezőpontját $E$-vel, a $DA$ oldalét $F$-fel, a $BF$ és $CE$ szakaszok metszéspontját $G$-vel (2. ábra).     2. ábra   Az $ABF$ háromszöget a négyzet középpontja körül ${90}^{\circ }$-kal elforgatva a $BCE$ háromszögbe megy át, amiből következik, hogy az $EGB$ szög derékszög. Így a $BEG$ és $BFA$ hasonló háromszögek megfelelő oldalaira $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{EG}{EB}=\frac{FA}{FB}\mathrm{,}}\end{array}$ innen $\begin{array}{c}{\displaystyle EG=EB\frac{FA}{FB}=\frac{a}{2}\cdot \frac{\frac{a}{2}}{\sqrt[]{a^2+{\left(\frac{a}{2}\right)}^2}}=\frac{a}{2\sqrt[]{5}}}\end{array}$ és $GB=2EG$ miatt $\begin{array}{c}{\displaystyle GB=\frac{a}{\sqrt[]{5}}\mathrm{.}}\end{array}$ Így az $EBG$ háromszög területe$=\frac{a^2}{20}$. A négyzet szimmetriájából és a szerkesztésből következik, hogy, a $8$ kis háromszög egybevágó, így a keresett $T$ terület $\begin{array}{c}{\displaystyle T=a^2-8\frac{a^2}{20}=\frac{3}{5}{a}^2\mathrm{.}}\end{array}$