Feladat: 1482. matematika gyakorlat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: -
Füzet: 1974/május, 210 - 211. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Nevezetes azonosságok, Maradékos osztás, Természetes számok, Tizes alapú számrendszer, Teljes indukció módszere, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1973/szeptember: 1482. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. A 2n hatvány végződései n>3 esetén rendre 6,2,4,8,6,2,.... Ehhez belátjuk, hogy 2n+4 minden n-re ugyanarra a jegyre végződik, mint 2n:

2n+4=2n⋅24=2n⋅16.
A szorzat utolsó jegye a tényezők utolsó jegyétől függ csak. A 2n utolsó jegye mindig páros, s ha a 0,2,4,6,8 számokat 6-tal szarozzuk, a szorzat ugyanarra a számjegyre végződik, mint maga a szám. Ezzel állításunkat igazoltuk.
Ha n=4k, akkor 2n utolsó jegye 6, tehát a feladat állítása helyes.
Ha n=4k+i(i=1,2,3) alakú, 2n utolsó jegye 2i, tehát a feladat állítása azt jelenti, hogy
2i(2n-2i)10(i=1,2,3)
osztható 6-tal.
Elég belátni, hogy 2n-2i többszöröse 3-nak, hiszen már tudjuk, hogy
2n-2i10
egész szám.
2n-2i=24k+i-2i=2i(24k-1)=2i((24)k-1),
s mivel (an-bn) mindig osztható az alapok különbségével, (24)k-1 mindig osztható 15-tel. Ezzel a bizonyítást befejeztük.
 
II. megoldás. Teljes indukcióval megmutatjuk, hogy ha k tetszőleges természetes szám, akkor 24k=10A+6, ahol A-t 3-mal osztva 1-et kapunk maradékul, és 24k+1=10B+2, 24k+2=10C+4, 24k+3=10D+8, ahol B, C, D osztható 3-mal. Könnyen látható, hogy a feladat állítása ebből már következik. Ha k=1,
24k=16,24k+1=32,24k+2=64,24k+3=128,
tehát állításaink helyesek. Tegyük fel, hogy már beláttuk azokat valamilyen természetes k-ra, és legyen m=k+1. Akkor
24m=2⋅24k+3=2(10D+8)=10(2D+1)+6,
ahol D a már bizonyított állítás szerint osztható 3-mal. Ez viszont épp azt jelenti, hogy24m=10A1+6 alakú, ahol A1-et 3-mal osztva 1-et kapunk maradékul. Továbbmenve kapjuk, hogy
24m+1=2⋅24m=2(10A1+6)=10⋅(2A1+1)+2,
tehát 24m+1=10B1+2, ahol B1 osztható 3-mal, hiszen 2A1-et 3-mal osztva már 2-t kapunk maradékul. Ennek alapján
24m+2=2⋅24m+1=2(10B1+2)=10C1+4,
ahol C1=2B1, tehát C1 is osztható 3-mal, és
24m+3=2⋅24m+2=2(10C1+4)=10D1+8,
ahol D1=2C1, tehát D1 is osztható 3-mal. Záródott a kör, összes állításunkat beláttuk m-re, és ezzel egyben minden természetes számra is beláttuk azt.