A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás. A hatvány végződései esetén rendre . Ehhez belátjuk, hogy minden -re ugyanarra a jegyre végződik, mint : A szorzat utolsó jegye a tényezők utolsó jegyétől függ csak. A utolsó jegye mindig páros, s ha a számokat -tal szarozzuk, a szorzat ugyanarra a számjegyre végződik, mint maga a szám. Ezzel állításunkat igazoltuk. Ha , akkor utolsó jegye , tehát a feladat állítása helyes. Ha alakú, utolsó jegye , tehát a feladat állítása azt jelenti, hogy osztható -tal. Elég belátni, hogy többszöröse -nak, hiszen már tudjuk, hogy egész szám. | | s mivel mindig osztható az alapok különbségével, mindig osztható -tel. Ezzel a bizonyítást befejeztük.
II. megoldás. Teljes indukcióval megmutatjuk, hogy ha tetszőleges természetes szám, akkor , ahol -t -mal osztva -et kapunk maradékul, és , , , ahol , , osztható -mal. Könnyen látható, hogy a feladat állítása ebből már következik. Ha , | | tehát állításaink helyesek. Tegyük fel, hogy már beláttuk azokat valamilyen természetes -ra, és legyen . Akkor | | ahol a már bizonyított állítás szerint osztható -mal. Ez viszont épp azt jelenti, hogy alakú, ahol -et -mal osztva -et kapunk maradékul. Továbbmenve kapjuk, hogy | | tehát , ahol osztható -mal, hiszen -et -mal osztva már -t kapunk maradékul. Ennek alapján | | ahol , tehát is osztható -mal, és | | ahol , tehát is osztható -mal. Záródott a kör, összes állításunkat beláttuk -re, és ezzel egyben minden természetes számra is beláttuk azt. |