Kezdőlap


Feladat:	1481. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: -
Füzet:	1974/március, 114 - 115. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Maradékos osztás, Természetes számok, Szakaszos tizedestörtek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1973/szeptember: 1481. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Egy közönséges törtet bárki könnyen át tud alakítani tizedes törtté. Fordítva, egy nem csupa $9$ -est tartalmazó tiszta szakaszos tizedes törtet mindig elő tudunk állítani két egész szám hányadosaként úgy, hogy a tört számlálójába a szakasz jegyeit írjuk, nevezőjébe pedig $10^{k} - 1$ -et, ahol $k$ a szakasz jegyeinek száma, pl. $0, 873 873 ... = \frac{873}{999}$ . Valóban, a $B C D B : 9999$ osztás szokásos végzése helyett $4$ lépését összevonva, az osztandó $B C D B \cdot 10^{4}$ , és ez így írható: $B C D B \cdot 9999 + B C D B$ , tehát mind a hányados, mind a maradék $B C D B$ , az eljárás ismétlődik:

\begin{matrix} B C D B : 9999 = 0, B C D B B C D B ... \end{matrix}

(ugyanis

B \neq C

miatt

B C D B < 9999

Ezt felhasználva feladatunk a következőképpen írható:

\begin{matrix} \frac{A B C}{B B B B} = \frac{B C D B}{9999}, ahol A \neq 0 és B \neq 0. \end{matrix}

Alakítsuk át a törtet:

\begin{matrix} \frac{A B C}{B \cdot 1111} = \frac{B C D B}{9 \cdot 1111}, \end{matrix}

ahonnan kapjuk, hogy

\begin{matrix} 9 A B C = B \cdot B C D B . \end{matrix}

(1)

A B C

háromjegyű szám kisebb

1000

-nél, így az (1) bal oldala kisebb

9000

-nél; a jobb oldalra viszont

B (1000 B + C D B) > 1000 \cdot B^{2}

, és így a

\begin{matrix} 9000 > B^{2} \cdot 1000, \end{matrix}

egyenlőtlenségből következik, hogy

B

értéke

1

vagy

2

.
Válasszuk először a

B

-t

1

-nek. (1)-ből

\begin{matrix} 9 \cdot (A 1 C) = 1 \cdot (1 C D 1) . \end{matrix}

9 \cdot C = ... 1

szorzás csak

C = 9

esetben állhat fenn, és ekkor

\begin{matrix} \frac{1 9 D 1}{A 1 9} = 9 -ből \end{matrix}

A = 2

és

D = 7

adódik, és valóban

219 : 1111 = 0, 1971 1971 ...

B = 2

esetben (1)-ből

9 (A 2 C) = 2 (2 C D 2)

és

9 C = ... 4

-ből csak

C = 6

jön szóba. Innen

\begin{matrix} | 9 (100 A + 20 + 6) = 2 (26 D 2) - = 5204 + 20 D, \\ 900 A + 234 = 5204 + 20 D, \\ 90 A - 2 D = 497. \end{matrix}

A bal oldalon

A

és

D

helyére egész számot várunk, a különbség nem lehet páratlan, ilyen megoldás tehát nincs.
Ezek szerint a talált megoldás egyértelmű.