Kezdőlap


Feladat:	1479. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: -
Füzet:	1974/május, 209 - 210. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Síkra vonatkozó tükrözés, Vetítések, Térgeometriai bizonyítások, Tetraéderek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1973/május: 1479. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Válasszuk ki az egyik lapszögfelező síkot, pl. az $A B$ , élhez tartozó belső felezősíkot (amelyik átmetszi a $C D$ élt). Tükrözzük erre a síkra a $D$ csúcspontot és jelöljük a tükörképét $D'_{1}$ -vel.

Az ábra az

A B

él egyenesének egy távoli pontjából nézve érbendő, így

A

és

B

képe egybeesik, az

A B C

A B D

lapok, valamint a felezősík egyeneseknek látszanak, és az utóbbi egyenes felezi az előbbiek közti szöget.

D

D'_{1}

, valamint a tovább bevezetésre kerülő

D_{1}

M

M_{1}

vetületek egy, a nézőirányunkra merőleges síkban vannak, az

A

B

C

pontok helyzetéről viszont így nem látunk semmit, de erre nincs is szükség.
A

D D'_{1}

egyenes döfi a szögfelező síkot a

D_{1}

pontban, ez a

D

pont vetülete. A tükrözésből és a szögfelező sík tulajdonságaiból következik, hogy

D D_{1} = D_{1} D'_{1}

és a

D_{1}'

pont illeszkedik az

A B C

síkra.
Legyen a

D

pontnak az

A B C

síkra való vetülete

M

, a

D_{1}

pont vetülete

M_{1}

. Mivel

D M | | D_{1} M_{1}

és

D_{1}

felezi a

D D'_{1}

-t, azért

D_{1} M_{1} = \frac{1}{2} D M

, a

D

pontnak a szögfelező síkra eső

D_{1}

vetülete fele olyan messzire van az

A B C

síktól, mint a

D

.
Megállapításunk bármelyik tekintetbe veendő lapszögfelező síkunkra érvényes, hiszen annak helyzetéről semmit sem használtunk fel.
Tehát a

D

pontnak mind a

6

síkra eső vetülete ugyanolyan messzire van az alapsíktól és az

A B C

sík ugyanazon oldalán, vagyis valóban egy síkban van. A vetületeket tartalmazó sík párhuzamos az

A B C

síkkal és felezi a gúla

D M

magasságát.