Kezdőlap


Feladat:	1478. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: -
Megoldó(k):	Fodor László
Füzet:	1974/április, 161 - 162. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Háromszögek hasonlósága, Párhuzamos szelők tétele, Sokszögek szerkesztése, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1973/május: 1478. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Jelöljük a keresett hatszög csúcsait az $A B$ oldalon $D$ , $E$ -vel, a $B C$ oldalon $F$ , $G$ -vel, a $C A$ oldalon $H$ , $J$ -vel, a háromszög szögeit szokásosan $α$ , $β$ , $γ$ -val.

A hatszög szögeit könnyen ki tudjuk számítani, mivel oldalai párhuzamosak a háromszög oldalaival:

\begin{matrix} D E F ∢ & = G H J ∢ = 180^{\circ} - α, \\ E F G ∢ & = H J D ∢ = 180^{\circ} - γ, \\ F G H ∢ & = J D E ∢ = 180^{\circ} - β . \end{matrix}

Mivel a hatszög oldalai egyenlők, és szögeit ismerjük, hozzá hasonló hatszöget tudunk szerkeszteni. Az így szerkesztett

D'

E'

F'

G'

H'

J'

hatszög minden második oldalát meghosszabbítva az eredeti háromszöghöz hasonló

A' B' C'

háromszöget kapunk^{$^{*}$}. Az így kapott ábrát alkalmas középpontból a kívánt mértékben nagyítva megkapjuk a szerkesztendő hatszöget.
Célszerű a hatszög

J' D'

D' E'

E' F'

oldalát mindjárt a

B C

A B

A C

oldallal párhuzamosan felvenni, így az

A' B' C'

háromszög hasonló helyzetű lesz

A B C

-hez, a nagyítás eljárása valamivel egyszerűbb.

II. megoldás. A hatszögoldalak által lemetszett

H G C, E B F, A D J

háromszögek hasonlóak az

A B C

háromszöghöz és így egymáshoz is, szögeik

α

β

és

γ

.

Mindegyikben található a hatszög egy oldala ‐ sorra másik‐másik szöggel szemben helyezkedik el ‐, továbbá

A J + J H + H C = A B

.
Válasszunk egy tetszés szerinti hosszúságú szakaszt, tekintsük ezt egy hatszög oldalának és az előbbi feltételek szerint szerkesszünk a

H G C

és

A D J

háromszögekhez hasonló

H' G' C'

és

A' D' J'

háromszögeket. Majd az így kapott

A' J' : J' H' : H' C'

arányban osszuk fel az

A B C

háromszög

A C

oldalát.
A szerkesztés közvetlenül megadja a keresett hatszög egyik oldalát.

Fodor László (Vác, Sztáron S. Gimn., II. o. t.)

Megjegyzés. A hatszög oldalát

d

-vel, a háromszög oldalait

a

b

c

betűvel jelölve

d

ki is számítható, miután kifejeztük vele az

A C

oldalon keletkezett részeket:

\begin{matrix} A C & = A J + J H + H C = \frac{d}{a} \cdot b + d + \frac{d}{c} \cdot b = b, \\ d = \frac{a b c}{a b + b c + c a}, \frac{1}{d} = \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} . \end{matrix}

^{$^{*}$}Bár a meghosszabbított oldalak megválasztása kétféleképpen lehetséges, így kapott a két háromszög egybevágó,

180^{\circ}

-os forgatással fedésbe hozhatók ugyanis előírt tulajdonságai alapján a hatszög centrálisan szimmetrikus.