Kezdőlap


Feladat:	1477. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: -
Megoldó(k):	Bagó B. , Bezdek A. , Böősi I. , Csuka Ibolya , Gyarmati P. , Ható Mária , Hornung T. , Kóczy Annamária , Schuler L.
Füzet:	1974/május, 207 - 209. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Háromszögek hasonlósága, Tengelyes tükrözés, Forgatva nyújtás, Vetítések, Háromszögek nevezetes tételei, Magasságvonal, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1973/május: 1477. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Módosítsuk a képezési utasítást úgy, hogy $P$ -t vetítés helyett tükrözzük a megfelelő oldalra. Így kétszer akkora háromszöget kapunk, mint eredetileg, s mivel az eredeti transzformáció és e módosítottja hasonló háromszögre vezet, azért elegendő lesz a feladat állítását a módosított transzformációra bizonyítani.
Jelöljük a $C_{n} A_{n}$ egyenest a $P A_{n}$ egyenesbe vivő forgatást $α'_{n}$ -vel, a $P A_{n}$ -et $B_{n} A_{n}$ -be vivőt $α''_{n}$ -vel, és tovább az $A_{n} B_{n} P$ , $P B_{n} C_{n}$ , $B_{n} C_{n} P$ és $P C_{n} A_{n}$ forgásszöget rendre $β'_{n}$ -vel, $β''_{n}$ -vel, $γ'_{n}$ -vel, $γ''_{n}$ -vel.

1. ábra

Megmutatjuk, hogy a

H_{n + 1}

-beli megfelelő forgásszögekre fennállanak a következő egyenlőségek

\begin{matrix} α'_{n + 1} = β'_{n}, β'_{n + 1} = γ'_{n}, γ'_{n + 1} = α'_{n}, & (1) \\ α''_{n + 1} = γ''_{n}, β'_{n + 1} = α''_{n}, γ'_{n + 1} = β''_{n}, \end{matrix}

Ezekből következik majd, hogy

\begin{matrix} α'_{3} = β'_{2} = γ'_{1} = α'_{0}, β'_{3} = γ'_{2} = α'_{1} = β'_{0}, γ'_{3} = α'_{2} = β'_{1} = γ'_{0}, \end{matrix}

és hasonlóan

\begin{matrix} α''_{3} = α''_{0}, β''_{3} = β''_{0}, γ''_{3} = γ''_{0}, \end{matrix}

tehát

H_{3}

és

H_{0}

megfelelő szögei egyenlők, így valóban hasonlók.
Tekintsük az

A_{n}

B_{n}

C_{n}

pontok köré írt,

P

-n átmenő köröket (1. ábra). E körök rendre átmennek

P

-nek a körpárok centrálisaira vonatkozó tükörképein, a

H_{n + 1}

háromszög megfelelő csúcsain. A tükrözés miatt a

B_{n + 1} A_{n}

-et

A_{n} P

-be vivő forgatás egyenlő

2 α'_{n}

-vel. Emiatt egyenlők

α'_{n}

-vel az

A_{n}

körüli,

P

-n átmenő körnek a

B_{n + 1} P

ív feletti kerületi szögei, köztük a

C_{n + 1} B_{n + 1}

-et

P C_{n + 1}

-be vivő forgatás is, vagyis

γ'_{n + 1} = α'_{n}

; hasonlóan láthatjuk be (1) többi állításait is.
Meg kell azonban jegyeznünk, hogy két egyenes forgásszöge nincs egyértelműen meghatározva: ha a

φ

szögű forgatás

e

-t

f

-be viszi, akkor ugyanezt teszi a

(180^{\circ} - φ)

szögű forgatás is; emiatt a fenti bizonyítás kiegészítésre szorul. A bizonyított (1) egyenlőségek úgy igazak, hogy a lehetséges választások közt van olyan is, amelyikre teljesül (1). Így igaz a kerületi szögek egyenlőségére felhasznált állítás is. A szokásos értelmezés mellett ugyanis meg kell különböztetni azt az esetet, amikor a kerületi szög csúcsa a meghatározó íven van, attól, amikor a csúcs a kiegészítő íven van. Ez elkerülhető a forgásszögek alkalmazásával: a 2. ábrán látható kerületi forgásszögek egyenlők, noha csúcsaik egymást (teljes körré) kiegészítő íveken vannak.

2. ábra

Ennek az egyöntetűségnek azonban ára van: (1) felhasználásával csak azt bizonyítjuk be, hogy

H_{3}

és

H_{0}

megfelelően választott forgásszögei egyenlők, azaz ha a szögeket (a közönséges értelemben vett szögeket, nem forgásszögeket) rendre

α_{0}

β_{0}

γ_{0}

α_{3}

β_{3}

γ_{3}

jelöli, akkor az

α_{0}

α_{3}

;

β_{0}

β_{3}

;

γ_{0}

γ_{3}

párok tagjai vagy egyenlők vagy

180^{\circ}

-ra egészítik ki egymást.
A fellépő bizonytalanság, eloszlatásának az érdekében csak azt kell felhasználnunk, hogy a háromszög szögeinek összege

180^{\circ}

. Ha ugyanis a megfelelő szögek között volna egy, amelyik

180^{\circ}

-ra egészítené ki a párját ‐ mondjuk

α_{3} = 180^{\circ} - α_{0}

volna, akkor

H_{3}

-ban a szögek összege nem lehetne

180^{\circ}

\begin{matrix} α_{3} + β_{3} + γ_{3} = (180^{\circ} - α_{0}) + β_{0} + γ_{0} = 360^{\circ} - 2 α_{0}, \end{matrix}

ami csak úgy lehet

180^{\circ}

, ha

α_{0} = 90^{\circ}

, azaz ha

α_{3}

egyenlő

α_{0}

-lal is. Ha két ilyen pár volna:

α_{3} = 180^{\circ} - α_{0}

és

β_{3} = 180^{\circ} - β_{0}

, akkor

\begin{matrix} α_{3} + β_{3} + γ_{3} = (180^{\circ} - α_{0}) + (180^{\circ} - β_{0}) + γ_{0} = 180^{\circ} + 2 γ_{0}, \end{matrix}

ami nem lehet

180^{\circ}

-kal egyenlő; ha pedig három ilyen volna, akkor:

\begin{matrix} α_{3} + β_{3} + γ_{3} = (180^{\circ} - α_{0}) + (180^{\circ} - β_{0}) + (180^{\circ} - γ_{0}) = 360^{\circ}, \end{matrix}

ami ismét nem

180^{\circ}

. Az állítást ezzel bebizonyítottuk.

Megjegyzés. A legutóbbiakban egy kicsit többet is bizonyítottunk: mivel a forgásszögek is egyenlőek, azért azt is beláttuk, hogy

H_{3}

körüljárása megegyezik

H_{0}

. körüljárásával.
Ilyenkor mindig van olyan forgatva nyújtás (kicsinyítés), amely

H_{0}

-t átviszi

H_{3}

-ba (a szög lehet természetesen

180^{\circ}

is), itt azonban még azt is be lehet látni, hogy ennek a transzformációnak a centruma éppen a

P

pont, vagyis hogy a

P

A_{0}

B_{0}

C_{0}

és a

P

A_{3}

B_{3}

C_{3}

pontrendszerek is hasonlók.

3. ábra

(Ilyet mutat az eredeti képezésmód mellett a 3. ábra; a sejtéshez eljuttat néhány pontosan végrehajtott szerkesztés más-más kiindulási helyzetből, a bizonyításra itt nem térünk ki.)