Feladat: 1476. matematika gyakorlat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: -
Füzet: 1974/április, 159 - 161. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Kombinatorikai leszámolási problémák, Maradékos osztás, Természetes számok, Számjegyekkel kapcsolatos feladatok, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1973/május: 1476. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Egy egyjegyű, egy kétjegyű és egy háromjegyű természetes számot kell meghatároznunk a következők alapján.
(1) A kétjegyű szám páros, a másik kettő páratlan.
(2) Ha a számokat összeszorozzuk, a szorzat vége 68, ez előtt a három szám összege áll, ami négyzetszám.
(3) Ha a háromjegyűnek a százas helyi értékű számjegyét átírjuk a kétjegyű elé, akkor az új háromjegyű szám is és a maradó kétjegyű is négyzetszám.

 

Megoldás. Legyen a számok tízes számrendszerbeli alakja rendre A, BC, DEF, tehát A, B, D egyike sem 0.
(2) alapján az utolsó jegyek A⋅C⋅F szorzata 8-asra végződik, azaz nem osztható 5-tel, egyik tényezője sem, így az (1) szerint páros C jegy nem 0, a páratlan A és F jegy nem 5-ös, és A az 1, 3, 7 és 9 valamelyike.
C-t és F-et tovább korlátozza, hogy ezek a (3) szerint négyzetvégződések. Ezért C csak a 4 és 6 jegyek valamelyike lehet, és F az 1 és 9 valamelyike.
Ha C=4, akkor (2) és (1) alapján a páratlan A⋅F szorzat végződése 7-es, amit F=1 mellett csak A=7 teljesít, F=9 mellett pedig csak A=3. Az előbbi értékhármast azonban kizárja, hogy (2) szerint a keresett számok s összege is négyzetszám, így ugyanis nem végződhet az A+C+F=7+4+1-ből adódó 2-esre. A C=4, F=9, A=3 értékhármasból viszont 6-ra végződik az összeg, ez még tovább vizsgálandó.
Hasonlóan C=6 mellett A⋅F végződése 3, az F=1, A=3 próbával 3+6+1 a négyzet végén lehetséges 0-t adja, viszont F=9, A=7 mellett ismét a meg nem engedett 2 állna ott, ez nem jön szóba.
Mindkét lehetségesnek ígérkező esetben A=3, és a három szám összeadásának sémájából eddig a következőket ismerjük:
a)3b)3B4B6DE9̲DE1̲s=..6s=..0

A b) sémában s utolsó előtti jegye is 0, ezért ilyen megoldásban csak B+E= =9 lehet és s-ben a százasok száma D+1. Másrészt s<1000+100+10, így értékére csak 400 és 900 jön szóba. Az utóbbit az zárja ki, hagy a keresett számok szorzata 100s+68 és 90068 nem osztható A=3-mal, az előbbi pedig D=3-ra vezet, és így a (3) szerint képezett DBC=3B6 szám nem négyzetszám. Innen tehát nem kapunk megoldást. ‐ Okoskodhatunk így is:
A b) sémában ‐ mivel s négyzetszám ‐ az utolsó előtti jegy is 0, így B+E=9. A (3) szerinti DBC=DB6 négyzetszámra 4 lehetőség van: 142=196, 162=256, 242=576 és 262=676, azaz B szóba jövő értékei: 9, 5, 7, 7, ebből E értékei rendre: 0, 4, 2, 2. Közülük csak E=0 mellett teljesül, hogy a maradó két jegy négyzetszámot ad: EF=01, ez is csak tágabb értelemben, de ekkor s=200, és ez nem négyzetszám; innen tehát nem kapunk megoldást.
Az a) sémában (3) szerint DBC=DB4 háromjegyű négyzetszám, tehát a 122=144, 182=324, 222=484 és 282=784 valamelyike, és B a 4, 2 és 8 jegyek valamelyike. Ámde (2) szerint
A⋅BC⋅DEF=68+100(A+BC+DEF)>100⋅DEFA⋅BC=3(10B+4)>100,B≧3,


tehát B≠2. Kiesik a B=8 érték is, ami mellett D≧4, mert így a szorzatra kétféleképpen adódó
3⋅84⋅DE9=25200D+2520E+2268100s+68=10000D+1000E+9668


értékek különbözete
15200D+1520E-7400>7600(D-1)>0.

A maradó DBC=144, azaz B=4, D=1 mellett az
A⋅BC⋅DEF=3⋅44⋅1E9=100(3+44+10E+109)+68
egyenletből E=4. Ezzel megoldását kaptuk a feladatnak, mert egyrészt E=4 számjegy, másrészt vele EF=49 négyzetszám, harmadrészt, mert a három szám 196-os összege is négyzetszám.
Tehát a keresett számok: 3, 44 és 149; más megoldása nincs a feladatnak.
 

Megjegyzés. Az EF szám négyzetszám voltát csak F jegyében használtuk föl, hasonlóan az a) sémában s-nek is csak az utolsó jegyét vettük tekintetbe, amiatt volt szükség az utolsó ellenőrzésre.