Kezdőlap


Feladat:	1475. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: -
Füzet:	1974/március, 112 - 113. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Elsőfokú (és arra visszavezethető) egyenletrendszerek, Szélsőérték-feladatok differenciálszámítás nélkül, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1973/május: 1475. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Valóban nincs olyan $x$ , $y$ , $z$ számhármas, amely az egyenletrendszert kielégíti, hiszen az utolsó három egyenlet összege

\begin{matrix} x + y + z = 18, \end{matrix}

és ez ellentmondásban van az első egyenlettel.
Képezve, majd kellően átalakítva a kérdéses

S

összeget:

\begin{matrix} S = {(x + y + z - 10)}^{2} + {(x + y - z - 7)}^{2} + {(x - y + z - 6)}^{2} + {(y - x + z - 5)}^{2} = \\ = 2 {(x + y)}^{2} + 2 {(x - y)}^{2} - 34 (x + y) - 2 (x - y) + {(z - 10)}^{2} + {(z + 7)}^{2} + {(z - 6)}^{2} + {(z - 5)}^{2} = \\ = 4 x^{2} + 4 y^{2} + 4 z^{2} - 36 x - 32 y - 28 z + 210 = \\ = 4 {{(x - 4, 5)}^{2} + {(y - 4)}^{2} + {(z - 3, 5)}^{2} + 4} . \end{matrix}

Ez akkor veszi fel a legkisebb értékét, ha a kapcsos zárójelben a változókat tartalmazó tagok értéke

0

, azaz ha

\begin{matrix} x = 4, 5, y = 4, z = 3, 5, \end{matrix}

és ekkor az adott egyenletek bal oldalának értéke rendre

12

5

4

3

, ennek "többlete'' a jobb oldalhoz képest

+ 2

- 2

- 2

- 2

, és

S = 16