Kezdőlap


Feladat:	1474. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: -
Füzet:	1974/február, 70 - 71. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyenletrendszerek grafikus megoldása, Paraméteres egyenletrendszerek, Paraméteres egyenlőtlenségek, Mozgással kapcsolatos szöveges feladatok, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1973/május: 1474. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelöljük az autó, a motor és a kerékpár sebességét rendre $v_{1}$ -gyel, $v_{2}$ -vel, $v_{3}$ -mal ‐ ahol nyilván $v_{1} > v_{2} > v_{3} > 0$ ‐, a közös indulástól a felsorolt találkozásokig eltelt időt rendre $t_{1}$ -gyel, $t_{2}$ -vel, $t_{3}$ -mal, az $A B$ távolságot $s$ -sel. A szöveg szerint az autós $B$ -ből visszafordulva előbb ‐ azaz $B$ -hez közelebb ‐ találkozik a motorossal, s csak azután a kerékpárossal, továbbá a $B$ felé haladó kerékpárossal az autós előbb találkozik, mint a motoros.

Tehát az

a

b

c

távolságokra fenn kell állniuk a

\begin{matrix} b > a > 0 és b > c > 0 \end{matrix}

(1)

egyenlőtlenségeknek. A feladat megoldását a paramétereknek eleve csak ilyen értékrendszerei mellett keressük.
Fejezzük ki az egyes találkozásokig a találkozók által megtett utakat:

\begin{matrix} v_{1} t_{1} & = s + a, v_{1} t_{2} = s + b, v_{2} t_{3} = s + c, \\ v_{2} t_{1} & = s - a, v_{3} t_{2} = s - b, v_{3} t_{3} = s - c . \end{matrix}

Az egymás alá írt egyenletek jobb és bal oldalainak hányadosát véve

\begin{matrix} (2) \frac{v_{1}}{v_{2}} = \frac{s + a}{s - a}, (3) \frac{v_{1}}{v_{3}} = \frac{s + b}{s - b}, (4) \frac{v_{2}}{v_{3}} = \frac{s + c}{s - c} . \end{matrix}

A (3) és (4) bal oldalának hányadosa egyenlő a (2) bal oldalával, tehát ugyanígy a megfelelő jobb oldalakból

\begin{matrix} \frac{(s + b) (s - c)}{(s - b) (s + c)} = \frac{s + a}{s - a}, \end{matrix}

innen a szokásos rendezési lépésekkel

\begin{matrix} s^{2} = \frac{a b c}{a + c - b}, \end{matrix}

és az

A

B

városok távolsága

\begin{matrix} A B = s = \sqrt[]{\frac{a b c}{a + c - b}}, \end{matrix}

(5)

hacsak az adott távolságokra a következő feltétel is teljesül

\begin{matrix} a + c - b > 0. \end{matrix}

(6)

Az (5)-tel így meghatározott

s

akkor megoldása a feladatnak, ha kielégíti az

s

-re nyilvánvalóan szükséges feltételeket, azaz ha

s

nagyobb

a

b

és

c

mindegyikénél, azaz

\begin{matrix} s^{2} = \frac{a b c}{a + c - b} > a^{2}, \frac{a b c}{a + c - b} > b^{2}, \frac{a b c}{a + c - b} > c^{2} . \end{matrix}

(7)

A másodikhoz (6) alapján teljesülnie kell a következőnek:

\begin{matrix} a c > a b + b c - b^{2}, \end{matrix}

átrendezve

\begin{matrix} (b - c) (b - a) > 0, \end{matrix}

ez teljesül (1) alapján, akkor pedig (7) további két követelménye is teljesül.
Ezek szerint (1) és (6) teljesülése elegendő ahhoz, hogy (5) valóságos (életszerű) megoldása legyen a feladatnak.