A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás. Tegyük fel a feladat állításával ellentétben, hogy van olyan tetraéder, amelyben minden csúcsnál van derékszög. Legyen egy ilyen tetraéder, és válasszuk a betűzést úgy, hogy legyen az (egyik) leghosszabb él. E választás miatt az , háromszögekben -vel szemben van a legnagyobb szög, tehát a -nél levő élszögek közül az háromszögbeli szög a derékszög, a -nél levők közül pedig az -beli. (Minden háromszögben csak egy derékszög lehet.) Így ezeknek a háromszögeknek -nál hegyesszögük van, az -nál levő derékszög csak az háromszögben lehet. Ugyanígy kapjuk, hogy a -nél levő derékszög a háromszögnek szöge.
1. ábra Jelöljük a szakasz felezőpontját -fel. Thalész tétele szerint az , szakaszok egyenlők a átfogó felével. Mivel az , egyeneseknek nincs közös pontjuk, az , , pontok valódi háromszöget határoznak meg, és ebben (az 1. ábra a gondolt gúlát és kiterítését vázolja). Ellentmondásra jutottunk, hiszen betűzésünk szerint a tetraédernek nincs -nél hosszabb éle. ‐ Feladatunk állítását ezzel bebizonyítottuk.
II. megoldás. Tegyük ismét fel, hogy olyan tetraéder, amelyben minden lap derékszögű és minden csúcsnál van derékszög. Egyelőre csak a -ben összefutó élek közti szögeket tekintjük, válasszuk úgy a betűzést, hogy -ben az szög legyen -os. Mivel minden lap derékszögű háromszög, a tetraéder lapjain nincsenek tompaszögek. Emiatt a -nél levő és szögek hegyesszögek, a csúcs a -ben -ra emelt merőleges síknak -t tartalmazó oldalán, és a -ben a -re emelt merőleges síknak -t tartalmazó oldalán van. Ezek szerint -nek az síkon levő a vetülete benne van szögtartományban. Vetítsük -t az , egyenesekre és jelöljük a vetületet rendre -gyel, -vel. A négyszögben három -os szög van, ez tehát téglalap (2. ábra).
2. ábra A és háromszögek derékszögűek, bennük közös és . Emiatt . Hasonlóan kapjuk, hogy , és e kettő összege szerint , tehát a -nél levő hegyesszögek összege nagyobb -nál. Amit -re kaptunk, érvényes a tetraéder további három csúcsára is, a bennük találkozó hegyesszögek összege is több -nál. Így viszont a négy lapon levő hegyesszög összege -nál több volna, ami nem lehet, hiszen egy-egy lapon az összegük . A kívánt tetraéder tehát nem létezik. |