Négyzetszám utolsó számjegye $0$, $1$, $4$, $5$, $6$ vagy $9$. Feladatunkban közülük a $0$-hoz és $1$-hez nincs négy előre helyezhető számjegy; a $4$-et véve $\text{...}34$ lenne a kétjegyű végződés, ez azért nem felel meg, mert nem osztható $4$-gyel ‐ hiszen páros négyzetszám alapja is páros, és így a négyzete osztható $4$-gyel. Hasonlóan marad el az $5$-ös végződés, mert az $5$-re végződő négyzetek $\text{...}25$-re végződnek, nem $\text{...}45$-re. A $9$-es végződés esetében a négyzet háromjegyű végződése $\text{...}789$, ez $8$-cal osztva $5$-öt ad maradékul, és nem felel meg, ismeretes ugyanis, hogy a páratlan számok négyzete $8m+1$ alakú: ${\left(2k+1\right)}^2=4k\left(k+1\right)+1$, és itt a $k\left(k+1\right)$ tényező páros.
Ezek szerint a keresett négyzetszám vége csak $\text{...}23456$ lehet. A $2$-es, $4$-es, és $8$-as oszthatósági szabályból továbblépve látjuk, hogy a $2^5=32$-vel való oszthatóság az utolsó öt jegyből álló számon múlik, hiszen ${10}^5$ osztható $2^5$-nel. Esetünkben $23456$ osztható $2^5$-nel, így a keresett négyzet is. De akkor osztható $2^6$-nal is, hiszen $4^2$-nel osztva a hányados páros, és ezért az alap osztható $8$-cal.
Mármost $\text{...}6$-ra végződik ${\left(\text{...}4\right)}^2$ és ${\left(\text{...}6\right)}^2$, összefoglalva ${\left(10k\pm 4\right)}^2$. Ebből megkeressük $k$ szóba jövő értékeinek utolsó jegyét: