Kezdőlap


Feladat:	1469. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: -
Füzet:	1973/november, 148 - 149. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletrendszerek, "a" alapú számrendszer (a >1, egész szám), Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1973/április: 1469. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Mivel $a$ , $b$ , $c$ egy-egy számrendszer alapszámát jelöli, azért mindegyikük pozitív egész, és a felhasznált számjegyek alapján $a \geq 4$ , $b \geq 5$ , $c \geq 10$ . A számrendszer egységeit kiírva ‐ pl. $^{a)} 203 = 2 \cdot a^{2} + 0 \cdot a + 3 -$ , a következő egyenletrendszert kapjuk:

\begin{matrix} (a^{2} + 1) + (2 b^{2} + 1) = (3 c + 9) + 9, \\ (2 a^{2} + 3) + (4 b^{2} + 4) = (7 c + 7) + 8. \end{matrix}

A szokásos rendezés után

\begin{matrix} a^{2} + 2 b^{2} & = 3 c + 16, \\ 2 a^{2} + 4 b^{2} & = 7 c + 8, \end{matrix}

látjuk, hogy ez tekinthető kétismeretlenes lineáris egyenletrendszernek az

a^{2} +

+ 2 b^{2} = d

, valamint

c

ismeretlenekre:

\begin{matrix} d - 3 c = 16, 2 d - 7 c = 8, \end{matrix}

és innen csak

c = 24

d = 88

lehet, ha egyáltalán van megoldás, azaz

\begin{matrix} a^{2} + 2 b^{2} = 88. \end{matrix}

Az egyenletből leolvashatjuk, hogy

a^{2}

páros, tehát 4-gyel is osztható:

\begin{matrix} b^{2} = 44 - \frac{a^{2}}{2}, ahol \frac{a^{2}}{2} páros . \end{matrix}

b^{2} < 44

, s mivel

b \geq 5

és páros, így

b

csak

6

lehet, és akkor

a = 4

.
Tehát a számrendszerek alapszámai

a = 4

b = 6

, és

c = 24

, visszahelyettesítve ellenőrizhetjük a megoldás helyességét.