Kezdőlap


Feladat:	1464. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: -
Füzet:	1974/január, 20 - 22. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Maradékos osztás, Természetes számok, Tizes alapú számrendszer, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1973/március: 1464. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. A felírt két egyenletből látjuk, hogy mindkét háromjegyű szám négyzete hatjegyű, tehát $A$ -nak és $C$ -nek mint az alapok elöl álló jegyének értéke legalább $3$ . A feltétel szerint különböző betűk különböző számjegyeket jelölnek, és $A$ -nak és $C$ -nek mint az alapok utolsó jegyének négyzete $B$ -re, ill. $F$ -re végződik, tehát sem $A$ , sem $C$ nem lehet $5$ vagy $6$ . Eszerint $A$ és $C$ lehetséges értékei

\begin{matrix} 3, 4, 7, 8, 9, \end{matrix}

(3)

négyzetüknek a végződései rendre

\begin{matrix} 9, 6, 9, 4, 1, \end{matrix}

(4)

B

és

F

szóbajövő értékeit ezek adják.
Négyzetszám utolsó két jegyét nem befolyásolja az alapban a százasok helyén álló számjegy, ezért az első egyenletben

B C

és

F B

közti összefüggést vizsgálhatjuk anélkül, hogy

A

értékét ismernénk.
Az első egyenletből látjuk, hogy

B

értékét

C

négyzetének utolsó jegye adja, ha pl.

C = 7

, akkor

B = 9

B C = 97

F B

értékét négyzetre emeléssel kiszámíthatjuk:

F B = 09

; ekkor

B F = 90

, ami a második egyenlet szerint

B A

négyzetének kétjegyű végződése. Ámde

90

-re végződő négyzetszám nincs, ez nem lehet megoldása a feladatnak.
Vegyük sorra

B C

szóbajövő értékeit. Ezek (3) és (4) alapján

93

64

97

(ezt már megvizsgáltuk),

48

19

. Négyzeteiknek végződése:

49

96

09

04

61

. A fordított sorrendben felírt

94

69

40

és

16

közül a

94

és

40

nem négyzetvégződés, mert ha egy négyzetszám utolsó jegye

0

, akkor előtte is

0

áll, ha viszont az utolsó jegye

4

-es, akkor előtte páros számjegy áll. A fennmaradt két esetben

B F = 69

vagy

B F = 16

.
Ha

B F = 69

, akkor

A = 3

vagy

A = 7

, és így az első esetben

\begin{matrix} A B C = 364, A B C^{2} = 132 496, \\ C B A = 463, C B A^{2} = 214 369, \end{matrix}

eleget is tesznek a feltételeknek.
Ha pedig

A = 7

, akkor

A B C = 764

C B A = 467

. Az első egyenletből

B C^{2}

utolsó két jegye

F B = 96

B = 6

, a második egyenletből

B A^{2}

utolsó két jegye

B E = 89

B = 8

. Ez

B

-re ellentmondás.
A másik szóbajött esetben

A B C = 419

C B A = 914

. Az előbbihez hasonlóan

B A^{2}

utolsó két jegye

B F = 96

, és

B C^{2}

utolsó két számjegye

F B = 61

, ami

B

-re ismét ellentmondás.
Összefoglalva, a feladatnak csak egy megoldása van, mint láttuk:

A = 3

B = 6

C = 4

D = 1

E = 2

és

F = 9

II. megoldás. A két négyzet kétjegyű végződése egymás megfordítottja. Ennek alapján leszűkíthetjük a vizsgálandó végződések számát. E célra megmutatjuk, hogy az egymás utáni négyzetszámok kétjegyű végződéseiben

25^{2}

végződése után nem találunk újat, az eddigiek fordított sorrendben ismétlődnek,

50^{2}

után pedig az

1^{2}

és

50^{2}

közöttiek szakaszosan ismétlődnek.
Valóban, ha

x

egész szám és

0 \leq x \leq 25

, akkor

50 \geq 50 - x \geq 25

, és

{(50 - x)}^{2}

kétjegyű végződése egyezik

x^{2}

kétjegyű végződésével, mert különbségük:

\begin{matrix} {(50 - x)}^{2} - x^{2} = 50 (50 - 2 x) = 100 (25 - x), \end{matrix}

másrészt

\begin{matrix} {(50 + x)}^{2} - x^{2} = 50 (50 + 2 x) = 100 (25 + x), \end{matrix}

mindkettő osztható

100

-zal és ez igazolja állításainkat.
A

25^{2}

-ig előfordult

22

-féle végződés közül a két különböző számjegyből alakuló, megfordítható végződések

16

és

61

, valamint

69

és

96

. Ezek először rendre

4

és

19

, ill.

13

és

14

négyzetében lépnek föl, így az előzők szerint

\begin{matrix} ... 16 - ra végződik a ... 04, ... 46, ... 54, ... 96 számok négyzete, \\ ... 61 - re végződik a ... 19, ... 31, ... 69, ... 81 számok négyzete, & (5) \\ ... 69 - re végződik a ... 13, ... 37, ... 63, ... 87 számok négyzete, \\ ... 96 - ra végződik a ... 14, ... 36, ... 64, ... 86 számok négyzete . \end{matrix}

Az alapokra így talált végződések közül többet mellőzhetünk a következő két észrevétel alapján. (1) és (2) mindegyikében az alapszám végződése más, mint a négyzetéé, az alapszám tízes értékű jegye megismétlődik a négyzetének kétjegyű végződésében, mégpedig (1) esetében a végződés 2. jegyében, (2) esetében a végződés 1. jegyében.
(5)-ben kiemelten vastag számjegyekkel írtuk az alapvégződések közül ezeknek megfelelőket, a közönséges számjegyekkel szedettek nem adhatnak megoldást. És mivel a

... 16

-os négyzetvégződés így lehetetlenné vált, elmarad a

... 61

-es végződés is, tehát ‐ ha egyáltalán van megoldás ‐ az csak az alábbiak kiegészítése lehet:

(1)-ből:

... 64^{2} = ... 96

,
(2)-ből:

... 63^{2} = ... 69

tehát

B = 6

C = 4

A = 3

F = 9

, így a két alapszám

364

, illetve

463

.
Négyzetük rendre:

132 496

214 369

, megfelel a hátralevő számjegyekre tett követelményeknek is,

D = 1

E = 2

. A megoldást befejeztük.