Kezdőlap


Feladat:	1462. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: -
Füzet:	1973/november, 146 - 147. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Algebrai átalakítások, Nevezetes azonosságok, Oszthatósági feladatok, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1973/március: 1462. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Bizonyítsuk be, hogy az

\begin{matrix} K = (a^{2} - b^{2}) {(a + b)}^{4} - (a^{5} + b^{5}) (a - b) \end{matrix}

kifejezés osztható

L = a^{3} - b^{3}

-nel.

Mivel az

L

osztó szorzattá alakítható:

\begin{matrix} L = a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2}), \end{matrix}

ezért az adott kifejezést a tényezőkkel külön-külön fogjuk osztani.

\begin{matrix} K : (a - b) = [(a + b) {(a + b)}^{4} - (a^{5} + b^{5})] . \end{matrix}

A negyedik hatvány két négyzetreemeléssel vagy beszorzással még könnyen kifejezhető; tovább alakítva

\begin{matrix} K : (a - b) = 5 a^{4} b + 10 a^{3} b^{2} + 10 a^{2} b^{3} + 5 a b^{4} . \end{matrix}

A két középső tagot 2‐2 egyenlő tagra felbontva, majd 3‐3 tagban elvégezve a lehetséges kiemelést kapjuk, hogy

\begin{matrix} (5 a^{4} b + 5 a^{3} b^{2} + 5 a^{2} b^{3}) + (5 a^{3} b^{2} + 5 a^{2} b^{3} + 5 a b^{4}) = \\ = 5 a^{2} b (a^{2} + a b + b^{2}) + 5 a b^{2} (a^{2} + a b + b^{2}) = \\ = 5 a b (a + b) (a^{2} + a b + b^{2}) . \end{matrix}

A kapott kifejezés nyilvánvalóan osztható

L

második tényezőjével,

(a^{2} +

+ a b + b^{2})

-tel, s a hányados

5 a b (a + b)

lesz. Az osztás minden olyan esetben elvégezhető, ha

a \neq b