Kezdőlap


Feladat:	1461. matematika gyakorlat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: -
Füzet:	1973/november, 145 - 146. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Vetítések, Derékszögű háromszögek geometriája, Súlyvonal, Beírt kör, Szögfüggvények, síkgeometriai számítások, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1973/február: 1461. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelöljük a $C$ -nél derékszögű $A B C$ háromszög $C F$ súlyvonalának és a beleírt, $r$ sugarú, $O$ középpontú $k$ körnek metszéspontjait $C$ -től kiindulva $M_{1}$ -gyel és $M_{2}$ -vel, $k$ érintési pontját a $C B$ befogón $E$ -vel, $O$ -nak $C F$ -en levő vetületét $G$ -vel, az $F C O$ szöget $φ$ -vel. Válasszuk $A$ és $B$ betűzését úgy, hogy $C A \leq C B$ legyen, vagyis a szögek szokásos jelölésével $β \leq α$ , ekkor $F C = F B$ alapján $φ = 45^{\circ} - β$ .

A követelmény szerint

C M_{1} = M_{1} M_{2} = 2 M_{1} G

, így az

O C G

derékszögű háromszögből

\begin{matrix} cos φ = \frac{C G}{C O} = \frac{C M_{1} + M_{1} G}{C O} = \frac{3 C M_{1}}{2 C O} . \end{matrix}

A közös szöggel bíró

C M_{1} E

és

C E M_{2}

háromszögek hasonlóak, mert bennük a

C E M_{1}

és

C M_{2} E

szögek is egyenlők mint

k

-ban az

M_{1} E

íven nyugvó kerületi szögek. A megfelelő oldalak arányából

\begin{matrix} C M_{1} : C E = C E : C M_{2} = C E : 2 \cdot C M_{1}, \end{matrix}

tehát

C M_{1} = C E / \sqrt[]{2}

.
Másrészt

C E O

egyenlő szárú derékszögű háromszög, hiszen

C O

felezi a derékszöget, ezért

C O = C E \cdot \sqrt[]{2}

. Ezeket behelyettesítve folytatólag

\begin{matrix} cos φ = 3 / 4, φ = 41^{\circ} 24', \end{matrix}

tehát

\begin{matrix} β = 45^{\circ} - φ = 3^{\circ} 36' és α = 45^{\circ} + φ = 86^{\circ} 24' . \end{matrix}