Feladat: 1460. matematika gyakorlat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: -
Füzet: 1974/január, 20. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Négyzetek, Diszkusszió, Négyszögek szerkesztése, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1973/február: 1460. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

a) Tekintsük először azt az esetet, ha P az N=ABCD négyzet belsejében van, toljuk el P-t az AB→ vektorral és jelöljük új helyzetét P'-vel (1. ábra).

 

 

1. ábra
 

Ekkor a P'BPC négyszög megfelel az előírásoknak: P'P és BC átlói merőlegesek, mert PP'||AB⊥BC; konvex, mert átlóinak metszéspontja a BC szakaszon van és elválasztja egymástól P-t és P'-t; végül első oldala PA-val, utolsó oldala PD-vel egyenlő, mert ABP'P és DCP'P paralelogramma.
b) Ha P az N-re nézve külső pont, akkor két esetet tekintünk:
1. P a négyzet oldalegyeneseinek meghosszabbításával keletkezett valamelyik sávon belül van (a szimmetria miatt elég azt az esetet tekinteni, ha az AB és CD egyenesek közt, a CB egyenesnek A-t nem tartalmazó partján van);
2. P a sávok egyikében sincs benne (elég azt az esetet tekinteni, ha a BCD derékszög csúcsszögtartományában van).
 

 

2. ábra
 

Az AB→ vektorú eltolás után keletkező P'BPC négyszög az 1. esetben konkáv, mert BC átlója nem választja szét a PP' átló végpontjait (2. ábra), a 2. esetben hurkolt, mert egyik átló egyenese sem választja szét a másik átló végpontjait (3. ábra).
 

 

3. ábra
 

P' mindkét esetben távolabb van a BC egyenestől, mint maga P.
A 2. esetet visszavezetjük az 1-re: legyen C-nek a PP' egyenesre való tükörképe C1, ekkor a P'BPC1 négyszög már csak konkáv. Vegyük most mindkét esetben P-nek a BC egyenesre való P1 tükörképét, így a P'BP1C, illetve a P'BP1C1 négyszög konvex, átlóinak irányai AB, illetve BC, és oldalaik hossza rendre PA, PB, PC, PD (a tükrözések által nem változott). Ezzel bebizonyítottuk a feladat állítását.