Kezdőlap


Feladat:	1459. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: -
Füzet:	1973/december, 215 - 217. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Eltolás, Középpontos és egyéb hasonlósági transzformációk, Derékszögű háromszögek geometriája, Terület, felszín, Trapézok, Négyszögek szerkesztése, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1973/február: 1459. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

1. Vegyük észre, hogy az $A B C D$ négyszög $A$ és $D$ csúcsánál levő külső szögek összege $75^{\circ} + 15^{\circ} = 90^{\circ}$ , s így az $A B$ és $C D$ oldalak meghosszabbításával létrejött háromszög derékszögű. Jelöljük e háromszögnek a derékszögnél fekvő csúcsát $E$ -vel.

A szerkesztést ennek alapján a következőképpen végezhetjük el. Az

A B

szakaszra

A

végpontjában felmérjük az

B A D

szöget, és az

A

pontban a szakaszra (ugyanazon az oldalán) állított merőlegesre egy, a

D C

-vel egyenlő

A C'

hosszúságot. Az

A C'

-t

A D

szögszárral párhuzamosan eltoljuk, míg metszi a

B

középpontú

B C

sugarú kört, itt kapjuk a négyszög

C

csúcsát. Végül

D

-t a

C

-ből

A B

-re bocsátott merőleges metszi ki.

C

létrejön, mert a párhuzamos egyenes

C'

pontja a körön belül van.
2. Az

A B C D

négyszög területét ki tudjuk számítani, ha kiegészítjük derékszögű trapézzá úgy, hogy

C

-ből és

B

-ből merőlegest állítunk az

A D

oldalegyenesre. Jelöljük a merőlegesek talppontját rendre

N

-nel és

M

-mel. Az

A B C D

négyszög területét megkapjuk, ha

C N M B

trapéz területéből kivonjuk a

C N D

és

B M A

háromszögek területének összegét.
A

C N D

háromszög

C D

oldalához tartozó magasságvonalát könnyen kiszámíthatjuk. Jelöljük e magasság talppontját

N'

-vel és a

C D

oldal felezőpontját

F

-fel. Mivel a háromszög derékszögű,

F N = F C

F D N ∢ = D N F ∢ = 15^{\circ}

N' F N ∢ = 30^{\circ}

, így

F N N' ∢ = 60^{\circ}

háromszög fele egy egyenlő oldalú háromszögnek:

\begin{matrix} F N = 2, N N' = 1, N' F = \sqrt[]{3}, \\ C N D_{ter} = \frac{4 \cdot 1}{2} = 2 {cm}^{2} . \end{matrix}

Mivel

B M A

háromszög

5 : 4

arányú nagyítása a

D N C

háromszögnek, ezért

\begin{matrix} területe {(\frac{5}{4})}^{2} -szer akkora, azaz \\ B M A_{ter} = {(\frac{5}{4})}^{2} \cdot 2 = \frac{25}{8} = 3, 125 {cm}^{2} . \end{matrix}

C N M B

trapéz területének kiszámításához először írjuk fel a szükséges méreteket. A

C N

B M

és

N M

hosszúságok meghatározásához a Pitagorasz tételt használjuk fel:

\begin{matrix} C N = \sqrt[]{{N N'}^{2} + {N' C}^{2}} = \sqrt[]{1^{2} + {(2 - \sqrt[]{3})}^{2}} = 2 \sqrt[]{2 - \sqrt[]{3}} . \end{matrix}

A mondott hasonlóság miatt,

D N = 2 \sqrt[]{2 + \sqrt[]{3}}

alapján

\begin{matrix} B M = \frac{5}{2} \sqrt[]{2 + \sqrt[]{3}} és \end{matrix}

\begin{matrix} N M = \sqrt[]{{B C}^{2} - {(B M - C N)}^{2}} = \sqrt[]{22^{2} - {(2, 5 \sqrt[]{2 + \sqrt[]{3}} - 2 \sqrt[]{2 - \sqrt[]{3}})}^{2}} . \end{matrix}

Így a trapéz területe

\begin{matrix} N C B M_{ter} = \frac{5}{4} (\sqrt[]{2 + \sqrt[]{3}} + \sqrt[]{2 - \sqrt[]{3}}) N M = 63, 56 {cm}^{2} . \end{matrix}

Az adatokat pontosnak tekintjük, a szükséges közelítő értékeket táblázatból kerestük ki, és így az

A B C D

négyszög területe

58, 43 {cm}^{2}

Megjegyzés. A négyszög területét kiszámíthatjuk az

E B C

és

E A D

derékszögű háromszögek területének különbségeként is, miután a

D E = x

szakaszt az

\begin{matrix} {(x + 4)}^{2} + {(x tg 15^{\circ} + 5)}^{2} = 22^{2} \end{matrix}

egyenletből kiszámítottuk.