Kezdőlap


Feladat:	1458. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: -
Füzet:	1975/szeptember, 13 - 15. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Sakk, Konstruktív megoldási módszer, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1973/február: 1458. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Mindegyik versenyző 5 játszmát játszik, 5 napon kell táblához ülnie, tehát a verseny legalább 5 napig tart. Versenynapon azt szokás érteni, hogy egy napon (egyidőben) lehetőleg sokan játszanak; mi olyan programot adunk, amely szerint minden versenynapon mind a 6 sakkozó játszik ‐ hiszen a számuk páros szám ‐ tehát a verseny pontosan 5 nap alatt lebonyolítható.
Föltesszük, hogy az 1. napon a játékosok öntevékenyen kialakították a mérkőző párokat, ennek alapján választjuk a jelölésüket:

\begin{matrix} A \end{matrix}

(1)

A 2. napra

A

ellenfelét

B

és

b

közül választva, az 1. napi első két párt megbontottuk, még a harmadik pár tagjait is más-más párba kell rendelnünk. Egy lehetőség:

\begin{matrix} A \end{matrix}

(2)

(a harmadik pár kimaradóként adódott).
Vegyük a 3.-nak azt a napot, amikor

A

partnere

C

. Mivel azt akarjuk, hogy mindenki játsszék, azért

a

-val csak

b

-t ültethetjük szembe ‐ különben ugyanis

b

-vel együtt vagy

c

vagy

B

maradna hátra, és

b

már mindkettővel mérkőzött ‐, így viszont a kimaradók még nem játszottak:

\begin{matrix} A, C a, b B, c . \end{matrix}

(3)

A 4. napra

A

-nak ‐ hátralevő partnerei közül ‐

b

-t választva,

a

ellenfele hasonlóan csak

c

lehet:

\begin{matrix} A, b, a, c, B, C . \end{matrix}

(4)

Ezzel tulajdonképpen készen is vagyunk, hiszen mindenkinek már csak egy mérkőzése van hátra, és ez a követelmény szükségképpen kialakítja az utolsó nap párbaállítását:

\begin{matrix} A, c; a, B; b, C . \end{matrix}

(5)

Ezzel az állítást bebizonyítottuk.

Megjegyzések. 1. A sakkversenyeken esetlegesen fellépő függőjátszmákra és egyéb részletkérdésekre természetesen nem voltunk tekintettel, ezért programunk más páros játékok versenyeiben is használható (tenisz, pingpong stb.).
2. Használható programunk 5 játékos esetében is; természetesen a hiányzó játékosnak beosztott ellenfél szabadnapos, a lejátszandó 10 mérkőzést az előírás mellett nem lehet 5 napnál rövidebb idő alatt lebonyolítani. ‐ Mindjárt ezen az úton indulva tulajdonképpen valamivel egyszerűbb lenne a megoldás megtalálása. De azzal mégsem az igazi feladatunkat oldanánk meg, a visszavezetés és az igazi feladat megoldásának segédmunkálatai fölemésztik az időnyereséget.
3. Felhívjuk az olvasó figyelmét a pontversenyen kívüli P. 166. sz. problémára, amely ugyanezt a kérdést

2 n

számú versenyző esetére vizsgálja.

II. megoldás. A program szervezésébe bevonjuk azt a 3 sakktáblát is, amelyeken a mérkőzések (egyidejűleg) lefolynak. ‐ Gondoljuk azt, hogy e táblák egy hosszú asztalra vannak ráfestve, és rajtuk a sakkfigurák megindulási állásai meg vannak számozva, az asztal egyik hosszú oldalán 1-től 3-ig, majd körben tovább 4-től 6-ig úgy, hogy azok a párok játszanak egymással, akiknél a két jelzőszám összege 7 (1. ábra).

1. ábra

Ezután a programot közvetve azzal adjuk meg, hányas "féltáblához'' üljenek le a versenyzők. (Ez az elbonyolítás csak látszólagos, előnyét később látjuk meg.)
Az 5 nap alatt együttvéve a 6 sakkozó mindegyikét legföljebb 5 féltáblához ültethetjük le. Ezt az aszimmetriát (egyenrangúság‐ellenes vonást) előnyösen használhatjuk ki a következő további előírással: a játékosok közül 5-öt mindennap más‐más féltáíblához akarunk ültetni, a hatodik játékost pedig mindennap ugyanahhoz a féltáblához.
Számozzuk meg a játékosokat is 1-től 6-ig, és első napra ültessük mindegyiküket az ugyanazon számú féltáblához. A további napokra pedig a következő utasítás egy csapásra megadja a teljes programot:

a 6-os játékos mindennap a 6-os féltáblához üljön;

minden más játékos minden további napon az előző napi helyénél 1-gyel kisebb sorszámú féltáblához üljön, aki pedig egy nap az 1-es féltáblánál ült, másnap az 5-öshöz üljön.
Táblázatunk mutatja, hogy így minden előírt játszma sorrakerül és mindegyik pontosan egyszer.

\begin{matrix} összetartozó \\ féltáblák jelzőszámai: & 1‐6 & 2‐5 & 3‐4 \\ 1. nap ott játszik: & 1‐6 & 2‐5 & 3‐4 \\ 2. nap ott játszik: & 2‐6 & 3‐1 & 4‐5 \\ 3. nap ott játszik: & 3‐6 & 4-2 & 5‐1 \\ 4. nap ott játszik: & 4‐6 & 5‐3 & 1‐2 \\ 5. nap ott játszik: & 5‐6 & 1‐4 & 2‐3 \end{matrix}

Megjegyzések. 1. Számos versenyző ugyanezt a programot a következő ‐ szintén könnyen emlékezetben tartható ‐ utasítással adta meg. Írjuk a játékosok jelzőszámai közül az 1-est, 2-est,

...

, 5-öst, egy szabályos ötszög egymás utáni csúcsaihoz, a 6-ost a középpontjához. A 6-os játékos minden egyes versenynapon azzal mérkőzik, akinek a jelzőszáma egyezik a versenynap

v

sorszámával, a többi 4 versenyző pedig az ábra

v 6

szimmetriatengelyére tükrös párokban üljön le egy-egy táblához. A 2. ábra példaként a táblázat 3. napjának párjait mutatja be vastag szakaszokkal összekötve.

2. ábra

2. Elterjedt szokás, hogy az idomok közül elsősorban a lehető sok szimmetriát mutatókat vesszük segítségül. Ennek előnyeivel nemegyszer együtt jár az egyoldalúság, szűken látás hátránya. Az előbbi szabályos ötszög esetén hátrány ugyan nincs, de a hosszú asztal példája kissé talán életszerűbb, tulajdonképpen az ötszög "kerületét'' naponta másik‐másik csúcsánál fogva simítjuk ki az asztal köré. (A szabályos ötszögnek így lehetne gyakorlatiasabb értelmet adni: a 6 játékos 6 különböző városban ül le, a sakklépéseket telefonon mondja be, illetve kapja meg, nem is tudja talán, ki az ellenfele. A telefondrótok (kettős vezetékek) az ábra szerinti kapcsolómű megfelelő számú pontjába (érintkező hüvelypárjába) futnak be, a rendezés dolga csak annyi, hogy naponta

72^{\circ}

-kal elfordítsa azt a kapcsoló egységet, melyen az ábra 3 vastag szakasza kettős vezetődrót.)