Kezdőlap


Feladat:	1457. matematika gyakorlat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: -
Füzet:	1973/december, 213 - 215. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Természetes számok, Számelmélet alaptétele, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1973/február: 1457. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Hatványt ismételt szorzással számítunk ki. Két egész szám szorzatának utolsó $k$ jegye sorra egyenlő a tényezők utolsó k jegyéből álló számok szorzatának utolsó $k$ jegyével. Valóban, a $T_{i}$ tényező $(i = 1, 2)$ utolsó $k$ jegyéből összeolvasott számot $A_{i}$ -vel, az előtte álló jegyekből összeolvasott számot $B_{i}$ -vel jelölve

\begin{matrix} T_{1} T_{2} = (10^{k} \cdot B_{1} + A_{1}) (10^{k} \cdot B_{2} + A_{2}) = 10^{k} (10^{k} B_{1} B_{2} + B_{1} A_{2} + B_{2} A_{1}) + A_{1} A_{2}, \end{matrix}

itt az első tag utolsó

k

jegye zérus, állításunk tehát helyes.
A feladatnak megfelelően ezt elsősorban

k = 3

mellett alkalmazzuk, így elég

973^{46}

utolsó

3

jegyét keresnünk. Másrészt táblázatunkra tekintettel

k = 2

mellett is felhasználjuk. Követendő eljárásunkat

973^{2}

utolsó

3

jegyének meghatározásán mutatjuk be.

973^{2}

hatjegyű szám, a négyzettáblázat viszont négy értékes jegyre kerekítve közli:

9467 \cdot 10^{2}

. Itt az utolsó értékes jegy aszerint adja meg a pontos érték százas jegyét, illetve annál

1

-gyel nagyobb, hogy a kerekítésben elhagyott utolsó

2

jeggyel leírt szám

50

-nél kisebb vagy nem.
Az utolsó két jegy viszont a fentiek szerint ugyanaz mint

73^{2}

-ben, ami

4

-jegyű szám, ezért a táblázat

5329

adata pontos. Eszerint a

29

-es végződés alapján nincs fölfelé kerekítés, tehát

973^{2}

utolsó

3

jegye

729

.
(Célszerű ugyanezeket így is átgondolni: a táblázat szerint

973^{2}

egyrészt a

946 650

és

946 750

számok közé esik, másrészt

73^{2}

-nel együtt

29

-re végződik, tehát

946 729

-cel egyenlő.)
Eszerint

973^{4}

utolsó

3

jegye sorra egyezik

729^{2}

utolsó

3

jegyével, ez pedig a

729^{2} = 5314 \cdot 10^{2}

és

29^{2} = 841

adatok alapján hasonlóan

441

Továbbmenve,

973^{8}

utolsó

3

jegyét megadja

441^{2}

utolsó

3

jegye, ami

441^{2} = 1945 \cdot 10^{2}

és

41^{2} = 1681

alapján

481

, mert a

81

miatt fölfelé kerekítéssel kaptuk az

5

-öst;

973^{16}

utolsó

3

jegye

481^{2} = 2314 \cdot 10^{2}

és

81^{2} = 6561

-ből

361

;

973^{32}

utolsó

3

jegye

361^{2} = 1303 \cdot 10^{2}

és

61^{2} = 3721

-ből

321

.
Mivel előírt kitevőnk előállítható összegként az eddig látott kitevőkből:

46 = 32 + 8 + 4 + 2

, azért

973^{46}

utolsó

3

jegye ugyanaz, mint a

321 \cdot 481 \cdot 441 \cdot 729

szorzaté. Ezt is meghatározhatjuk a táblázat alapján, egy szorzás helyett két négyzetre emelést végezve.
Legyen az első két tényező esetében

\begin{matrix} 321 = a - b, \\ 481 = a + b, \end{matrix}

amiből

a = 401

b = 80

és

321 \cdot 481 = a^{2} - b^{2} = 401^{2} - 80^{2}

, ahol a fentiek mintájára

401^{2}

végződése

801

, a

80^{2}

-é közvetlenül

400

, tehát

321 \cdot 481

végződése

801 - 400 = 401

Hasonlóan

441 \cdot 729

végződése

\begin{matrix} 585^{2} = {(\frac{441 + 729}{2})}^{2} és 144^{2} = {(\frac{441 - 729}{2})}^{2} \end{matrix}

végződéseinek

225 - 736 (+ 1000)

különbségeként

489

(a kivonandót

144^{2} = 2074 \cdot 10

-ből és

{(44)}^{2} = 1936

-ból számítottuk); végül

401 \cdot 489

végződése

445^{2} - 44^{2}

-ből

025 - 936

, azaz

089

. Ezzel megválaszoltunk a feladat kérdésére.

Megjegyzések. 1. Történeti érdekességként említjük, hogy az

\begin{matrix} A B = \frac{{(A + B)}^{2}}{4} - \frac{{(A - B)}^{2}}{4} \end{matrix}

azonosság alapjában valóban használtak szorzás céljára négyzettáblázatokat, pontosabban az

x

bemenő számhoz mindjárt

\frac{x^{2}}{4}

értékét megadó ,,negyednégyzet''-táblázatokat.
2. Célhoz érhetünk a

973

-as alap más kitevőjű hatványain át is, azaz más sorrendben alkalmazva négyzetre emeléseket és különböző tényezők összeszorzását. Három lehetőség a kitevők sorozatára (és utánuk összehasonlításul a fent használt):

\begin{matrix} \begin{matrix} 2, & 4, & 8, & 3, & 11; & 22, & 44; & 46 \\ 2, & 4, & 8; & 9; & 18, & 36; & 45; & 46 \\ 2, & 4, & 8, & 16; & 20, & 22; & 44; & 46 \\ 2, & 4, & 8, & 16, & 32; & 40, & 6, & 46 \end{matrix} \end{matrix}

A vastag számjegyekkel a szorzás ‐ azaz két négyzetreemelés ‐ útján képezett hatványok kitevőit különböztettük meg.
Ajánljuk az érdeklődő olvasónak a következő kérdés vizsgálatát: Van-e kapcsolat egyrészt a szükséges négyzetreemelések, valamint szorzások száma, másrészt

46

-nak a kettes számrendszerbeli

101 110

alakja közt?
3. Célhoz érhetünk a fenti

3

szorzás helyett

1

szorzással és

1

osztással is

\begin{matrix} 973^{46} = \frac{973^{32} \cdot 973^{16}}{973^{2}} = \frac{(... 321) \cdot (... 361)}{... 729} = \frac{... 881}{... 729} \end{matrix}

alapján. Jelöljük

973^{46}

-nak a százas, a tízes, az egyes értékű helyen álló számjegyét rendre

A

B

C

betűvel. Így

729 (100 A + 10 B + C)

háromjegyű végződése, azaz

900 A + 290 B + 729 C

végződése

881

, tehát csak

C = 9

jöhet szóba. Ezt beírva, majd

10

-zel egyszerűsítve

90 A + 29 B

kétjegyű végződése

(881 - 561) / 10 = 32

, ami szerint csak

B = 8

jöhet szóba, ezt beírva

90 A

kétjegyű végződése

00

, ezért csak

A = 0

lehet és

973^{46}

végződése

A B C = 089

4. Elég sok dolgozat

1973 = 2000 - 027

alapján

{(- 027)}^{46}

háromjegyű végződését kereste meg. Ez már a 2. hatványnál beletorkollik a fentibe, hiszen

27^{2} = 729

, amit fent is találtunk a 2-es kitevő mellett.
5. A számok köbének táblázata általában nem alkalmas a fenti eljárás ,,gyorsítására'', mert már a kétjegyűek köbét is nagyobb részben csak kerekítve közli a négyjegyű táblázat, hiszen

n > 21

mellett

n^{3} > 10^{4}