Feladat: 1456. matematika gyakorlat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: -
Füzet: 1973/december, 212 - 213. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Algebrai átalakítások, Elsőfokú diofantikus egyenletek, Természetes számok, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1973/február: 1456. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. A feltétel szerint e párokból alkotott kétjegyű számok összege egyenlő a 100A+10B+C háromjegyű számmal, azaz

22(A+B+C)=100A+10B+C,(1)
átrendezve és 3-mal végig osztva 26A=4B+7C. Ha B és C helyébe a lehető legnagyobb értéküket, 9-et írjuk, a jobb oldalon álló kifejezés értéke nem nagyobb 99-nél, amiből következik, hogy A≦3. Az egyenlőségből leolvashatjuk azt is, hogy C páros.
Írjunk C helyébe 2D-t, ahol D≦4, így
13A=2B+7D.(2)
Vizsgáljuk meg az A=1, 2, 3 eseteket külön-külön. Ha A=1, akkor
13=2B+7D,
amiből D=1, C=2, és így B=3, tehát a háromjegyű szám 132.
Ha A=2, akkor 26=2B+7D, innen D páros, így D=2 lehet csak, ekkor C=4, B=6, a háromjegyű szám 264.
Végül A=3 esetében 39=2B+7D. D most csak páratlan lehet és D≦4. Ámde D=1 nem lehet, mert ekkor B>9, tehát D=3, s ekkor B=9, C=6.
Tehát a háromjegyű szám: 396.
Összefoglalva, három olyan számot találtunk, amelyek eleget tesznek az előírásnak, s ezek: 132, 264, 396.
 

II. megoldás. Az (1) egyenletből látható, hogy a háromjegyű szám osztható 22-vel. Vonjunk ki (1) mindkét oldalából (A+B+C)-t
21(A+B+C)=9(11A+B),
3-mal végig osztva
7(A+B+C)=3(11A+B).

Innen az (A+B+C) osztható 3-mal, de ha a háromjegyű szám jegyeinek összege osztható 3-mal, akkor maga a szám is, és így ABC66-tal is osztható. Az I. megoldásban már láttuk, hogy A≦3, így 66 következő többszöröseit kell csak figyelembe venni: 132, 198, 264, 330 és 396.
Könnyű ellenőrizni, hogy 198 és 330 nem felel meg a követelményeknek.
 

III. megoldás. Az első megoldásban szereplő (2) egyenletet átrendezhetjük a következőképpen:
13(A-D)=2(B-3D).(D≦4)
Így (B-3D) osztható 13-mal, de 0≦B≦9 és 0≦D≦4 miatt
-12≦B-3D≦9,
tehát B=3D, és így A=D, azaz a megoldás jegyei A, 3A és 2A alakúak. Azaz A=1, 2, 3-ra a kapott háromjegyű számok: 132, 264 és 396.