Kezdőlap


Feladat:	1450. matematika gyakorlat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: -
Füzet:	1973/november, 142 - 144. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Kombinatorikai leszámolási problémák, Természetes számok, Számelmélet alaptétele, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1973/január: 1450. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Első hallásra meglepő, hogy $n$ -ről $(n + 1)$ -re áttérve a számjegyek összegének párosnak kell maradni, vagyis páros számmal kell megváltoznia; hiszen azt tartanánk természetesnek, hogy a növelésre a jegyösszeg is 1-gyel növekedjék. Valóban, ez a gyakoribb eset ‐ ti. ha $n$ utolsó jegye nem 9-es ‐, mert így csak az utolsó jegy változik meg 1-gyel, páratlan számmal, és ezért a jegyösszeg is vagy párosról páratlanra változik vagy fordítva; itt tehát nincs keresnivalónk. Vizsgálódásra érdemes feladat azonban nemegyszer a ritkábban föllépő esetekben adódik, itt a 9-es végződésű $n$ -eknél, amikor az $(n + 1)$ szám végén legalább két helyen lép föl új jegy.
Jelöljük az $n$ szám végén álló 9-esek számát $k$ -val, vagyis a jobbról $(k + 1)$ -edik jegy már nem 9-es. $(n + 1)$ -re áttérve ennek a jegynek a helyére 1-gyel nagyobb lép, utána pedig $k$ db $0$ következik ‐ azaz 9-cel kisebbek ‐, tehát a jegyösszeg változása $(1 - 9 k)$ . Ez nyilvánvalóan akkor és csak akkor páros, ha $k$ páratlan. ‐ Eszerint a legkisebb megfelelő $n$ , $(n + 1)$ számpár 1 db $9$ -essel a $19$ és a $20$ , 3 db $9$ -essel az $1999$ , $2000$ .
Mivel $n < 10^{6}$ , azaz legföljebb 6 jegye van, azért $k$ -ra feladatunkban $k \leq 5$ -nek is teljesülnie kell.
I. Ha $k = 5$ , akkor $n = A 99 999$ alakú, ahol $A = 1$ , $3$ , $5$ vagy $7$ , hiszen a jegyek $A + 5 \cdot 9$ összege csak páratlan $A$ mellett lesz páros, másrészt $A \neq 9$ ; az ilyen $n$ -ek száma tehát 4.
II. Ha $k = 3$ , akkor $n = A B C 999$ alakú, ahol $A + B + C$ páratlan és $C \neq 9$ . Az utóbbi föltétel miatt $C$ a $0, 1, ..., 8$ jegyek valamelyike, azaz 9-féleképpen választható, a $B$ 10-féleképpen, végül az ezekkel már meghatározott $(B + C)$ -t az $A$ jegy 5-féleképpen teheti páratlanná: páratlan $(B + C)$ esetén rendre a $0$ , $2$ , $4$ , $6$ , $8$ jegyekkel, páros $(B + C)$ esetén az 5 páratlan jeggyel. Ebbe a csoportba tehát $5 \cdot 10 \cdot 9 = 450$ db megfelelő $n$ tartozik.
III. Végül $k = 1$ esetén hasonlóan $n = A B C D E 9$ , ahol $E < 9$ és $(A + B + C +$ $+ D + E)$ páratlan; a II. eset gondolatmenetét megismételve ide $5 \cdot 10^{3} \cdot 9 = 45 000$ db megfelelő $n$ tartozik.
Mindezek alapján a feladat kérdésére a válasz: $45 000 + 450 + 4 = 45 454$ db a $10^{6}$ -nál kisebb, páros jegyösszegű olyan $n$ természetes szám van, hogy $(n + 1)$ számjegyeinek összege is páros.

II. megoldás. Ha már tudjuk, hogy

n

csak akkor lehet megfelelő, ha a végén páratlan számú 9-es előtt egy, a 9-estől különböző számjegy áll, akkor a megfelelők számának megállapítását így is végezhetjük, mindjárt tetszőleges

j

mellett a

10^{j}

korlátig.
Ha

j

páratlan, akkor

n

végén számunkra maximálisan

(j - 2)

db 9-es jön szóba, hiszen a

j

db 9-essel írt szám elé már nem jöhet egy, a páratlan

9 j

összeget párossá tevő jegy; ha pedig

j

páros, akkor a

(j - 1)

db 9-es végű számok még szóba jönnek. Az olyan természetes számok létszáma, amelyek kisebbek, mint

10^{j}

és amelyekben az utolsó

s

helyen 9-es áll ‐ tekintet nélkül arra, hogy milyen jegy áll közvetlenül előttük ‐, nyilvánvalóan

N_{s} = 10^{j - s}

, hiszen az utolsó

s

hely előtti

(j - s)

számú helyen az összes olyan szám sorban föllép, mely

(j - s)

jeggyel leírható, megengedve azt is, hogy mind a

(j - s)

helyen zérus álljon. Így az olyan számaink száma, amelyeknek a végén pontosan

s

db 9-es áll:

N_{s} - N_{s + 1} = 10^{j - s} - 10^{j - s - 1} = 9 \cdot 10^{j - s - 1}

.
Megmutatjuk, hogy e számok közül ugyanannyiban páros a számjegyek összege, mint amennyiben páratlan ‐ hacsak még

N_{s + 1}

is páros szám, azaz

j - s - 1 \geq 1

, másképpen

s \leq j - 2

; pontosabban azt, hogy ez az állítás a

(j - s)

-jegyű és a

(j - s - 1)

-jegyű számokra külön-külön igaz, igaz tehát az

N_{s + 1}

számú szám elhagyásával előálló halmazra is. Ugyanis

j - s - 1 \geq 1

miatt még a

(j - s - 1)

jegyű számok is a

0

-tól kezdve egyesével növekedően tíztagú csoportokba foghatók össze, minden egyes csoport tíz száma csak az utolsó jegyben különbözik egymástól, és az utolsó jegyek közül

5 - 5

páratlanná, illetve párossá teszi az előttük álló közös számjegyeik összegét. És ez az egyenlőség akkor is megmarad, ha mögéjük csupa 9-eseket írunk. Eszerint a pontosan

s

9

-esre végződő,

j (\geq s + 2)

jegyű, páros jegyösszegű számok száma

\begin{matrix} \frac{N_{s}}{2} - \frac{N_{s + 1}}{2} = 5 \cdot 10^{j - s - 1} - 5 \cdot 10^{j - s - 2} = 45 \cdot 10^{j - s - 2}, \end{matrix}

(*)

\begin{matrix} j - s - 2 \geq 0, azaz s \leq j - 2 . \end{matrix}

Mi ezt a páratlan

s

-ekre (az I. megoldásbeli

k

értékekre) tekintjük, így

10

kitevői

s = 1, 3, 5, ...

mellett:

j - 3, j - 5, j - 7, ...

lesznek, és a

2

-esével való csökkenésre tekintettel a (*) számok összege a

454545 ...

alakú lesz. Ha

j

páratlan, akkor

s = j - 2

esetére (*)

45 \cdot 10^{0}

-t ad, vagyis

45

-öt, tehát az összeg végén is

45

áll, jegyeinek száma

(j - 1)

, a ,,

45

'' számjegypároké

\frac{j - 1}{2}

.
Ha pedig

j

páros ‐ mint eredeti feladatunkban

j = 6

‐, akkor fenti felezési meggondolásunk

s = j - 1

-re még helyes, de

N_{s + 1}

már nem felezhető, ez az érték

1

, az

(s + 1) = j

9

-essel végződő számok száma. A

j

9

-essel írt

n

szám még kisebb

10^{j}

-nél és jegyösszege

9 j

is páros szám, mégsem felel meg, mert ekkor

n + 1 = 10 j

, és jegyeinek összege

1

, nem páros. Eszerint

s = j - 1

mellett (*) helyett

5 - 1 = 4

-et kapunk, tehát a feladatnak megfelelő

n

-ek számát a

(j - 1)

db számjeggyel írt

4545 ... 4

szám adja meg.
Összefoglalva: a

10^{j}

határig megfelelő

n

-ek száma a következő

(j - 1)

jegyű szám:

4545 ...