Kezdőlap


Feladat:	1448. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1973/szeptember, 5. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Vetítések, Derékszögű háromszögek geometriája, Körök, Hossz, kerület, Szélsőérték-feladatok differenciálszámítás nélkül, Körérintési szerkesztések, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1972/december: 1448. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelöljük $k$ középpontját $O$ -val, a kérdéses kör középpontját $K$ -val, sugarát $r$ -rel, $K$ -nak $A B$ -n levő vetületét $D$ -vel, az $O C$ távolságot $t$ -vel, $O D$ -t pedig $x$ -szel. Azt kell belátnunk, hogy

\begin{matrix} r ≦ 1 / 4. \end{matrix}

Az általánosság megszorítása nélkül föltehetjük, hogy

C

-t az

O A

szakaszon vagy magában

O

-ban választjuk, tehát

O ≦ t < 1

. Így az

A

körüli kör sugara

1 - t

, a

B

körülié

1 + t

, és az előírt érintések alapján a középpontok közti távolságok:

\begin{matrix} K A = 1 - t + r, K B = 1 + t + r, K O = 1 - r . \end{matrix}

Megállapodásunk alapján

K A ≦ K B

, ezért

K

‐ és vele

D

is ‐ az

A B

-re

O

-ban emelt merőlegesnek

A

-t tartalmazó oldalán van, vagy magán e merőlegesen, így

x ≧ 0

A D = 1 - x

D B = 1 + x

, és a

K D A

K D O

, valamint a

K D O

és

K D B

derékszögű háromszög-párokból:

\begin{matrix} K D^{2} = {(1 - t + r)}^{2} - {(1 - x)}^{2} = {(1 - r)}^{2} - x^{2}, \\ K D^{2} = {(1 + t + r)}^{2} - {(1 + x)}^{2} = {(1 - r)}^{2} - x^{2} . \end{matrix}

E két egyenletet összeadva

x

kiesik, és a szokásos rendezési lépésekkel

\begin{matrix} r = \frac{1}{4} - \frac{t^{2}}{4} . \end{matrix}

A jobb oldali kifejezés valóban nem nagyobb, mint

1 / 4

, és ezt a legnagyobb értéket fel is veszi

t = 0

mellett, vagyis ha

C

-t a kiindulási kör középpontjában választjuk. ‐ Ezzel a feladat állítását bebizonyítottuk.