Kezdőlap


Feladat:	1447. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1973/október, 68 - 69. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Tengelyes tükrözés, Egyenlő szárú háromszögek geometriája, Körülírt kör középpontja, Rombuszok, Szögfüggvények, síkgeometriai számítások, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1972/december: 1447. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A $H$ köré írt kör középpontját mindhárom esetben $O$ -val jelölve, $O A = O B$ , és a tükrözés alapján az $A O B T$ négyszög rombusz. Ez egyik esetben sem elfajult, mert az I. és a III. esetben $T$ határozottan belső pontja $H$ -nak, a II. esetben pedig határozottan külső pontja. Eszerint $O$ az I.-ben és a III.-ban külső pont, a II.-ban belső pont.
Továbbá mindig fennáll $O A B ∢ = T A B ∢ = T B A ∢ = O B A ∢$ , jelöljük ezt $ε$ -nal.
Az I. esetben a beírt kör középpontjának tulajdonságai szerint $T A$ felezi a $B A C$ szöget, $T B$ az $A B C$ szöget, így $H$ -ban $A$ -nál és $B$ -nél 2 $ε$ nagyságú szög van (1. ábra).

1. ábra

C B A ∢ = 2 ε

-ból a kerületi és középponti szögek tétele alapján

C O A ∢ = 4 ε

. Továbbá

C A O ∢ = 3 ε

, és mivel az

A C O

háromszög egyenlő szárú, ezért szögeinek összege alapján

3 ε + 3 ε + 4 ε = 180^{\circ}

ε = 18^{\circ}

. Így

H

szögei:

36^{\circ}

36^{\circ}

108^{\circ}

.
A II. esetben a hozzáírt kör középpontjának tulajdonságai szerint

T A

T B

B A C

, illetve

A B C

szög mellékszögét felezi, e két szög nagysága

2 ε

, ezért

H

-ban

A

-nál és

B

-nél egymással egyenlő,

180^{\circ} - 2 ε

nagyságú szög van, a

C

-nél levő szög pedig

180^{\circ} - 2 (180^{\circ} - 2 ε) = 4 ε - 180^{\circ}

(2. ábra).

1. ábra

Ezek alapján: az

A C O

háromszögben

C

-nél és

A

-nál

\begin{matrix} 2 ε - 90^{\circ}, illetve (180^{\circ} - 2 ε) - ε \end{matrix}

nagyságú szög van (az utóbbinál használtuk fel fenti megállapításunkat, hogy

O

B A C

szögtartomány belsejében van), ezek egyenlőségéből

ε = 54^{\circ}

, így pedig

H

szögei:

72^{\circ}

72^{\circ}

36^{\circ}

.
Végül a III. esetben a súlypont tulajdonságai szerint

C

rajta van az

A B

oldal

F

felezőpontját

T

-vel összekötő egyenesen és

F C = 3 \cdot F T

(3. ábra).

3. ábra

A O = B O

alapján az

A B

-re merőleges

T O

egyenes is átmegy

F

-en, tehát

C

-n is, a

H

egyenlő szárú, továbbá

F T = F O

, és

\begin{matrix} C O = C F + F O = 4 F 0. \end{matrix}

Ebből

\begin{matrix} sin ε = \frac{F O}{A O} = \frac{F O}{C O} = \frac{1}{4}, ε = 14^{\circ} 29', \end{matrix}

(felkerekítve), folytatólag

A O C ∢ = 90^{\circ} - ε = 75^{\circ} 31'

\begin{matrix} A C B ∢ = 2 \cdot A C O ∢ = 2 (90^{\circ} - \frac{A O C ∢}{2}) = 104^{\circ} 29', \\ B A C ∢ = A B C ∢ = 37^{\circ} 46' . \end{matrix}

Trigonometriai ismeretek nélkül a fenti elemzés alapján a körülírt kör

O C

sugarára az

F

negyedelő pontjában állított merőlegessel metsszük ki

A

és

B

helyzetét, és megmérjük a kapott

H

szögeit.