Feladat:	1446. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1973/november, 140 - 141. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Algebrai átalakítások, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1972/december: 1446. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. $\begin{array}{c}{\displaystyle K=\frac{{\left(\sqrt[]{r+1}-\sqrt[]{r-1}\right)}^n-{\left(\sqrt[]{r+1}+\sqrt[]{r-1}\right)}^n}{{\left(\sqrt[]{r+1}-\sqrt[]{r-1}\right)}^n+{\left(\sqrt[]{r+1}+\sqrt[]{r-1}\right)}^n}\mathrm{,}}\end{array}$ (1) Az $r$ szám adott kifejezését behelyettesítve ${\displaystyle \begin{array}{c}\hfill {\displaystyle \sqrt[]{r+1}=\sqrt[]{\frac{x^2+y^2}{2xy}+1}=\sqrt[]{\frac{{\left(x+y\right)}^2}{2xy}}=\frac{x+y}{\sqrt[]{2xy}}\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \sqrt[]{r-1}=\sqrt[]{\frac{{\left(x+y\right)}^2}{2xy}}=\frac{|x-y|}{\sqrt[]{2xy}}=\frac{x-y}{\sqrt[]{2xy}}\mathrm{,}\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">ha</span>}x>y\left(>0\right)\mathrm{.}}\hfill \end{array}}$ Mivel $r$ kifejezése szimmetrikus $x$-ben és $y$-ban, az általánosság megszorítása nélkül feltehettük, hogy $x>y$; ezzel fejeztük ki, hogy $\sqrt[]{r-1}\ge 0$. Ezeket (1)-be beírva, $K$ számlálójában és nevezőjében $\begin{array}{c}{\displaystyle \sqrt[]{r+1}-\sqrt[]{r-1}=\frac{2y}{\sqrt[]{2xy}}\mathrm{,}\sqrt[]{r+1}+\sqrt[]{r-1}=\frac{2x}{\sqrt[]{2xy}}\mathrm{,}}\end{array}$ és ${\left(\frac{\sqrt[]{2xy}}{2}\right)}^n$-nel bővítve $\begin{array}{c}{\displaystyle K=\frac{y^n-x^n}{y^n+x^n}\left(<0\right)\mathrm{.}}\end{array}$ Ez az előírt $n$-eken túlmenően minden $n$ természetes számra érvényes. Az utolsó alakban a nevezőbeli és a számlálóbeli polinomnak nincs közös polinom-tényezője, ezért további egyszerűsítés nem lehetséges. Ha ugyanis volna közös tényezőjük, ez az összegüknek, $2y^n$-nek is, és a $2x^n$ különbségüknek is tényezője volna, márpedig látjuk, hogy ilyen nincs.   Megjegyzés. Nem használtuk ki $x$-ről és $y$-ról a teljes feltevést, csak azt, hogy $0$-tól különbözők és hogy előjelük egyenlő.