Kezdőlap


Feladat:	1445. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1973/november, 138 - 140. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Játékelmélet, játékok, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1972/december: 1445. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

1. Számoljuk össze, hogy mennyi a Béla részére kedvező rendszámok száma. Ebben figyelmen kívül hagyjuk a $0000$ ,,négyjegyű'' számot.
Először a $K > 0$ esettel foglalkozunk. A feltételben szereplő kikötést, hogy ti. $N / K = E$ egész szám legyen, átfogalmazhatjuk a következőképpen: $E$ -nek és $K$ -nak egymástól függetlenül pozitív egész értékeket kell adnunk úgy, hogy $K \cdot E = N < 100$ legyen $(K$ , $E > 0)$ és össze kell számolnunk a lehetséges ilyen értékpárok számát. Ha $K$ értéke 1, akkor 1-nek 100-nál kisebb pozitív egész számú többszöröseit, ha $K = 2$ , akkor 2-nek 100-nál kisebb pozitív egész számú többszöröseit kell összeszámolnunk és így tovább. Az ilyen többszörösök számát $K = 2$ -re megadja a $\frac{99}{2}$ hányados egész része, amit így szokás jelölni: $[\frac{99}{2}]$ . Általában $[x]$ (olv. $x$ egész része, vagy elterjedt francia kifejezéssel: ^{$^{*}$} antyié $x)$ az $x$ -nél nem nagyobb egész számok legnagyobbikát jelöli, vagyis $x - 1 < [x] \leq x$ .
Eszerint, végigmenve a $K = 1, 2, ..., 99$ értékeken, a következő összeg értékét kell meghatároznunk:

\begin{matrix} [\frac{99}{1}] + [\frac{99}{2}] + ... + [\frac{99}{99}] . \end{matrix}

(1)

Egy kis ügyeskedéssel egyszerűbbé tehetjük a számolást.
A

K E < 100

összefüggést ábrázoljuk a

K

E

koordináta-rendszerben. Az összetartozó

K

és

E

egész számpárokat

(K

E > 0)

a berajzolt

E = \frac{100}{K}

hiperbolaív és a megvastagított koordinátatengely-szakaszok által határolt terület belsejébe eső egész koordinátájú ún. rácspontok ábrázolják (1. ábra).

1. ábra

A szorzás kommutatív törvénye alapján a hiperbolaív szimmetrikus az

E = K

egyenesre, emiatt a

K \leq 10

-hez tartozó rácspontok száma megegyezik az

E \leq 10

-hez tartozó rácspontok számával, és ezért a 99-tagú összeg helyett elegendő a

[\frac{99}{1}]

-tól

[\frac{99}{10}]

-ig terjedő tagok összegét kiszámítani (a 2. ábra jobbra lejtősen vonalkázott idomának belső rácspontjai).

2. ábra

Ha azonban ennek az összegnek a kétszeresét vennénk az

E

K

felcserélésének megfelelő tükrözésre gondolva (jobbra emelkedő vonalkázás), akkor lenne egy olyan rész, amelyben szereplő rácspontokat kétszer vennénk számításba. Ez a rész (majdnem) négyzet, a benne levő rácspontok száma

10 \cdot 10 - 1 = 99

, ugyanis a

(10; 10)

rácspont nem számítandó, hiszen rajta van a hiperbolán. A számítás:

\begin{matrix} [\frac{99}{1}] + [\frac{99}{2}] + [\frac{99}{3}] + [\frac{99}{4}] + [\frac{99}{5}] + [\frac{99}{6}] + [\frac{99}{7}] + [\frac{99}{8}] + [\frac{99}{9}] + [\frac{99}{10}] = \\ = 99 + 49 + 33 + 24 + 19 + 16 + 14 + 12 + 11 + 9 = 286. \end{matrix}

Tehát az idomban levő rácspontok száma

2 \cdot 286 - 99 = 473

. Ennyi olyan

K

N

pár van, melyre

01 \leq K \leq N = K E \leq 99

, és

E

egész szám.
Rátérve az autórendszámra,

K

egyaránt lehet annak jobb vagy bal oldali szelete. Ha azonban ezen a címen megkétszereznénk az előbb talált számot, kis hibát vétenénk, ugyanis

K

és

N

felcserélése az

N / K = E = 1

, azaz

N = K

esetben nem ad új rendszámot. Ilyen eset 99 van, ezért

K > 0

mellett a Bélára kedvező rendszámok száma

2 \cdot 473 - 99 = 847

.
Térjünk rá a ‐ Béla számára kedvező ‐ másik esetre, amikor

K = 0

(azaz

00

) és ez a rendszám bal oldali szelete. Ekkor

N

lehetőségeinek száma 99. Ugyanennyi kedvező eset van, amelyben

K

hátul áll, együtt 198.
Vagyis mindkét feltételt figyelembe véve, Béla számára a kedvező rendszámok száma 1045.
2. És mivel az összes négy jegyű számok száma 9999, ezért Andrásnak 8954 nyerőszáma van.
3. Ezek alapján akkor lehet a feladat kérdését eldönteni, azaz hogy a játék melyik fiú számára előnyös, ha minden rendszám egyenlő eséllyel fordul elő. Ez bekövetkezhet úgy, hogy mindegyik rendszámmal ugyanannyiszor találkoznak, pl. egyszer. Ekkor Béla nyereménye 1045 Ft, míg Andrásé

8954 \cdot 0, 1 = 895, 40

Ft, vagyis nyilván ő jár rosszabbul.

^{$^{*}$}Rámutatunk, hogy az ,,antyié

x

'' olvasás ugyanolyan hiányos fordítású ‐ mert a gyakorlat által lekoptatott ‐, mint a ,,sinus

x

'', a ,,logaritmus

x

'' és társaik. Valamivel jobb lenne így: ,,antyiéja az

x

-nek'', ,,logaritmusa az

x

-nek'', de még ez is csak efféle tört magyarságnak felelne meg: ceruzája a Jóskának. Miközben utánozzuk az idegen birtokviszony-szerkezetet ‐ a rövidítésből csak a betűt olvassuk ‐, megértési nehézséget teremtünk azoknak a fiatal magyaroknak, akik számára még új a kifejezés. Persze annak nincs ilyen nehézsége, aki már megszokta az efféle rövidítések idegen szellemét és a rövidített kiejtés jelentését is. ‐ Szerk.