Kezdőlap


Feladat:	1442. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1973/október, 65 - 66. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Háromszögek hasonlósága, Vetítések, Derékszögű háromszögek geometriája, Szögfelező egyenes, Párhuzamos szelők tétele, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1972/november: 1442. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Messe a $B A C ∢ = α$ , ill. $A B C ∢ = β$ szög szögfelezője a szemközti oldalt $A_{1}$ -ben, ill. $B_{1}$ -ben, és jelöljük ezeknek az $A B$ -re eső vetületét $A_{2}$ -vel, ill. $B_{2}$ -vel.

A_{1}, B_{1}

pontnak a felezett szög másik szárára való vetülete

C

, ezért

A_{1} C = A_{1} A_{2}

, (hiszen a szögfelező pontjai ugyanakkora távolságra vannak a szög két szárától), tehát az

A_{1} C A_{2}

háromszög egyenlő szárú. Így

A_{1} C A_{2} ∢ = α / 2

, hiszen

B A_{1} A_{2} ∢ = α

. Hasonlóképpen

B_{1} C B_{2} ∢ = β / 2

, és így

\begin{matrix} A_{2} C B_{2} ∢ = 90^{\circ} - (\frac{α}{2} + \frac{β}{2}) = 45^{\circ}, \end{matrix}

tehát az

A_{2} B_{2}

szakasz valóban

45^{\circ}

szögben látszik a

C

-ből.
Felhasználtuk azt is, hogy

A_{2}

és

B_{2}

A B

szakasz belső pontjai. Ez szemlélet nélkül is adódik abból, hogy

A_{1}

B_{1}

, a befogókon vannak, a befogók vetülete pedig része az átfogónak, mert

α

és

β

hegyesszög.

Megjegyzés. A felhasznált szögegyenlőségek abból is kiolvashatók, hogy az

A

A_{2}

A_{1}

és

C

pontok egy körön, az

A A_{1}

szakasz Thalész-körén fekszenek. Így a kerületi szögek tételéből következik, hogy pl.

A_{1} C A_{2} ∢ = A_{1} A A_{2} ∢ = α / 2

II. megoldás. Legyen az

A B

-hez tartozó magasság talppontja

M

. A párhuzamos szelők tétele, a szögfelező tétel és az

A B C

A C M

háromszögek hasonlósága alapján

\begin{matrix} \frac{A B_{2}}{B_{2} M} = \frac{A B_{1}}{B_{1} C} = \frac{A B}{C B} = \frac{A C}{M C} . \end{matrix}

Így a szögfelező tétel megfordításából következik, hogy

C B_{2}

felezi az

A C M

szöget. Hasonlóan

C A_{2}

felezi az

M C B

szöget s így

\begin{matrix} B_{2} C A_{2} ∢ = 1 / 2 A C B ∢ = 45^{\circ} . \end{matrix}