Feladat: 1440. matematika gyakorlat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Füzet: 1973/szeptember, 17 - 18. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Irracionális egyenletrendszerek, Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Számtani-mértani egyenlőtlenségek, Tizes alapú számrendszer, "a" alapú számrendszer (a >1, egész szám), Számjegyekkel kapcsolatos feladatok, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1972/november: 1440. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

1. Legyen a két különböző természetes szám a, ill. b. A feladat feltételei szerint

a+b2=10p+q,(1)ab=10q+p,(2)


ahol p és q a két középérték számjegyei; ezért
0≦q≦9,0<p≦9.(3)

A számtani és mértani közép közötti egyenlőtlenségből a≠b alapján
10p+q>10q+pés ebbőlp>q.
(1)-ből, ill. (2)-ből
a+b=2(10p+q)ésab=(10q+p)2,
eszerint a és b a következő másodfokú egyenletnek tesz eleget:
x2-2(10p+q)x+(10q+p)2=0.(4)

Egész együtthatós másodfokú egyenletnek csak akkor lehet mindkét gyöke természetes szám, ha a
D=4⋅9⋅11(p+q)(p-q)(5)
diszkriminánsa teljes négyzet, vagyis minden benne előforduló törzstényező páros kitevővel szerepel.
Tehát p+q=11, hiszen (3) miatt a p-q nem lehet 11, másrészt p+q≦18<2⋅11. Ebből az is következik, hogy p és q egyike páros, másika páratlan.
Most már p-q csak egy 9-nél kisebb páratlan négyzetszám lehet, vagyis
p-q=1,
így pedig
p=6,q=5,
és a két szám a=32, b=98, sorrendjük a követelményekben lényegtelen.
Valóban, a két középérték
a+b2=65ésab=56,
eleget tesz a feladat követelményeinek.
2. A 12-alapú számrendszerben (4) és (5) így alakulnak:
x2-2(12p+q)x+(12q+p)2=0,D=22⋅11⋅13(p-q)(p+q),


ahol 1≦p-q≦11, 1≦p+q≦21, a p+q=13, p-q=11 föltételezés viszont p=12-re vezet, ami nem lehet számjegy ebben a rendszerben.
 
Megjegyzés. Az eredeti versenyfeladat ezt is tartalmazta: ,,Keresendő további olyan számrendszer, amelyben a (különben változatlan) probléma szintén megoldható.'' Nos, ilyen a 9-es alapszámú rendszer 9)118 és 9)20 száma, (vagyis 98 és 18) számtani közepük 9)64, mértani közepük 9)46.