Kezdőlap


Feladat:	1439. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1973/május, 214 - 215. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Algebrai átalakítások, Természetes számok, Számelmélet alaptétele, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1972/november: 1439. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Mivel a kifejezés $x, y$ -ban szimmetrikus, jelöljük $x$ -szel a nagyobbik számot. Az $x^{2} + x y + y^{2}$ kifejezést átalakíthatjuk a következőképpen

\begin{matrix} x^{2} + x y + y^{2} = {(\frac{x - y}{2})}^{2} + 3 {(\frac{x + y}{2})}^{2}, \end{matrix}

ahonnan az

\begin{matrix} u = \frac{x - y}{2} és v = \frac{x + y}{2} \end{matrix}

(1)

számpár a feltételnek eleget tesz, ha

x

és

y

mindegyike páros vagy ha mindkettő páratlan.
Ha

x

és

y

közül az egyik páros, pl.

y

, de a másik páratlan, akkor az

\begin{matrix} x^{2} + x y + y^{2} = {(x + \frac{y}{2})}^{2} + 3 {(\frac{y}{2})}^{2} \end{matrix}

azonos átalakításból megfelelő értékpár a következő:

\begin{matrix} u = x + \frac{y}{2} és v = \frac{y}{2} . \end{matrix}

(2)

Ezzel az állítást igazoltuk.

Megjegyzések. 1. Többet bizonyítottunk be, mint amennyit a feladat kívánt: (1) és (2) mindegyikében

u

és

v

különbözők egymástól.
Továbbá (2) akkor is érvényes, ha

x

y

mindegyike páros, ekkor tehát

x^{2} +

+ x y + y^{2}

két különböző

u, v

értékpárral is írható

u^{2} + 3 v^{2}

alakban, ahol

u

és

v

különböző természetes számok. Pl.

28 = 4^{2} + 4 \cdot 2 + 2^{2} = 1^{2} + 3 \cdot 3^{2} = 5^{2} + 3 \cdot 1^{2}

.
2. Azt is látjuk, hogy az állítás megfordítható: ha

u

és

v

különböző természetes számok, akkor

u^{2} + 3 v^{2}

írható

x^{2} + x y + y^{2}

alakban, ahol

x

és

y

különböző természetes számok; meghatározásuk végett csupán (1)-et ill. (2)-t kell megoldanunk:
ha

u < v

, akkor (1)-ből

x = u + v

y = v - u

, ha pedig

u > v

, akkor (2)-ből

x = u - v

y = 2 v