Kezdőlap


Feladat:	1437. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1974/január, 15 - 16. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Derékszögű háromszögek geometriája, Kocka, Térelemek és részeik, Térgeometriai bizonyítások, Térgeometriai számítások trigonometria nélkül, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1972/október: 1437. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Legyen a kocka $A B$ oldaléle egységnyi. Az alapnégyzet $B C$ átlója merőleges erre, és hossza $\sqrt[]{2}$ , így az $A B C$ derékszögű háromszög átfogója $A C = \sqrt[]{3}$ (1. ábra).

1. ábra

Azt mutatjuk meg, hogy az

A

-ból induló

A D

súlyvonal merőleges a

B

-ből induló

B E

súlyvonalra. Az

A B D

derékszögű háromszögben

B D = \frac{\sqrt[]{2}}{2} = \frac{1}{\sqrt[]{2}}

, így

A D = \sqrt[]{\frac{3}{2}}

, és az

S

súlypont harmadoló tulajdonságánál fogva

\begin{matrix} A S = \frac{2}{3} \cdot A D = \sqrt[]{\frac{2}{3}} . \end{matrix}

Másrészt

B S = \frac{2}{3} B E = \frac{2}{3} \cdot \frac{A C}{2} = \frac{1}{\sqrt[]{3}}

.
Így az

A S B

háromszögben

A S^{2} + B S^{2} = A B^{2}

teljesül, vagyis a Pitagorasz-tétel megfordításából következik, hogy

A S

és

B S

merőlegesek egymásra.
Mivel egy egyenesre egy adott pontjában (itt

S

-ben) csak egy merőleges állítható, ezért nem lehet, hogy (az

S

-en átmenő) harmadik súlyvonal is merőleges legyen akár

A D

-re, akár

B E

-re.
Ezzel állításunkat igazoltuk.

II. megoldás. A fenti jelölésekkel az

E D

szakasz az

A B C

háromszög középvonala, ezért

B E D

derékszögű háromszög és

D E = \frac{1}{2}

. Látjuk, hogy

B D

mértani középarányos

A B

és

D E

között:

\begin{matrix} A B : B D = B D : D E, \end{matrix}

tehát az

A B D

és

B D E

háromszögek hasonlók. Mivel körüljárásuk is egyező, azért

A B D

-t (az ábrán a pozitív irányban)

90^{\circ}

-kal elfordítva, megfelelő befogóik párhuzamosak és egyirányúak lesznek, így az átfogók is, tehát

A D

és

B E

merőlegesek egymásra (2. ábra).

2. ábra

Megjegyzés.

B E

és

A D

merőleges állása kapcsolatos azzal, hogy ha a kocka

B F

testátlóját függőlegesre állítjuk, akkor az

A

C

csúcs

\frac{B F}{3}

, ill.

\frac{2 B F}{3}

magasságba jut, így

D

magassága is

\frac{B F}{3}

, vagyis

A D

vízszintes, merőleges

B F

-re. (Ez persze nem bizonyítás.)