A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. A kérdésre a válasz tagadó, olyan konvex négyszög nem létezik. Eszerint azt állítjuk, hogy a három szakaszból bármely konvex négyszög esetében lehet háromszöget szerkeszteni, s ehhez elég azt bebizonyítani, hogy a három szakasz bármelyike kisebb a másik két szakasz összegénél.
A bizonyítás egyszerűbb, ha nem köt bennünket az a különbözőség, hogy két szakaszunkat oldalból, a harmadikat pedig átlóból kapjuk összeadással. A következőt fogjuk bizonyítani. Legyen adva négy olyan pont, melyek közül semelyik három sincs egy egyenesen; ha ezeket minden lehető módon két párba kapcsoljuk ‐ ez nyilvánvalóan -féleképpen lehetséges ‐ és mindegyik párbakapcsolás esetében vesszük a két pontpár közti szakaszok összegét, e összegből lehet háromszöget szerkeszteni. Legyen az egyik pontpár , , a másik pár , , ekkor a további két párbaállítás , és , , illetve , és , , és a következőt akarjuk bizonyítani: | | (1) |
Föltevésünk szerint , , és valódi háromszögek, és így bennük fennáll
és ezeket összeadva, -vel osztva (1)-et kapjuk. Ezzel állításunkat bebizonyítottuk, az pedig az előrebocsátottak szerint a feladat kérdésére adott válaszunkat is bizonyítja, magában foglalja.
Megjegyzés. A megoldást avégett nem kísérjük ábrával, hogy megőrizzük a kettős lehetőséget: pl. akár oldalát, akár átlóját jelentheti az , , , pontok bármilyen sorrendben való összekötésével előállított négyszögnek. (-féle összekötés lehetséges: -val vagy vagy vagy van szemben.) Bármilyen ábrát rajzolva, azon vagy oldal vagy pedig átló szerepet játszana. |